物治 - 關節運動學與生物力學計算考古題解析 - 民國114年

本題觀念：

本題考查生物力學（Biomechanics）中的轉動力學（Rotational Dynamics）與牛頓第二運動定律的轉動形式（Newton's Second Law for Rotation）。核心概念在於如何計算關節力矩（Torque）、轉動慣量（Moment of Inertia）與角加速度（Angular Acceleration）之間的關係，以及如何正確定義與計算肌肉的力臂（Moment Arm）。

公式如下：

淨力矩公式： $\tau_{net} = I \times \alpha$ $τ_{n e t} = I \times α$
- $\tau$ (Torque)：力矩 ( $N\cdot m$ )
- $I$ (Moment of Inertia)：轉動慣量 ( $kg\cdot m^2$ )
- $\alpha$ (Angular Acceleration)：角加速度 ( $rad/s^2$ )
力矩定義： $\tau = F \times d_{\perp}$ $τ = F \times d_{⊥}$
- $F$ ：作用力（本題為髕腱張力）
- $d_{\perp}$ ：力臂（Moment Arm），即旋轉中心到力作用線的垂直距離。
- 若給定附著點距離 $r$ 與夾角 $\theta$ ，則 $d_{\perp} = r \times \sin(\theta)$ 。

影像分析：

題目附圖顯示膝關節的側面解剖簡圖與受力示意圖：

解剖結構：圖中展示股四頭肌（Quadriceps）、髕骨（Patella）、髕腱（Patellar tendon）與脛骨（Tibia）。
幾何參數：
- 黑色圓點：代表膝關節的旋轉中心（Center of Rotation）。
- 3 cm：標註從旋轉中心沿著脛骨方向到髕腱附著點（脛骨粗隆處）的直線距離。這是肌肉的附著力臂長度（Insertion distance），而非垂直力臂。
- 30°：標註髕腱拉力方向（藍色箭頭）與脛骨軸線（或附著點連線）之間的夾角，即肌肉拉力角度（Angle of pull）。
- 藍色箭頭：代表髕腱對脛骨施加的張力方向。
運動狀態：紅色箭頭標示小腿正在進行伸膝動作（踢球），角加速度為 $30 \, rad/s^2$ 。

選項分析與計算過程：

步驟一：計算膝關節所需的淨力矩（Net Torque） 根據牛頓第二定律的轉動公式： $\tau_{net} = I \times \alpha$ 代入題目數據：

$I = 0.25 \, kg\cdot m^2$
$\alpha = 30 \, rad/s^2$ $\tau_{net} = 0.25 \times 30 = 7.5 \, N\cdot m$

步驟二：計算髕腱的力臂（Moment Arm） 力矩由髕腱張力產生。題目給出的「3公分」是附著點距離（ $r$ ），而非垂直距離。力臂（ $d$ ）需透過三角函數計算： $d = r \times \sin(\theta)$ 代入數據（需將公分換算為公尺）：

$r = 3 \, cm = 0.03 \, m$
$\theta = 30^{\circ}$ $d = 0.03 \times \sin(30^{\circ}) = 0.03 \times 0.5 = 0.015 \, m$ (注意：若直接將3公分視為垂直力臂，會導致算出錯誤答案250 N，這也是選項D的陷阱)

步驟三：計算髕腱張力（Tension, T） 由力矩公式 $\tau = T \times d$ 反推張力 $T$ ： $7.5 = T \times 0.015$ $T = \frac{7.5}{0.015} = \frac{7500}{15} = 500 \, N$

選項檢視：

(A) 1500：計算錯誤。
(B) 1000：計算錯誤。
(C) 500：正確。符合上述物理計算結果。
(D) 250：錯誤。這是忽略角度，直接將 3 cm 當作垂直力臂 ( $7.5 / 0.03 = 250$ ) 所得到的誘答選項。

答案解析

正確答案：C

本題為典型的生物力學計算題，解題關鍵在於正確辨識力臂。題目中的「距離旋轉中心3公分」指的是解剖附著位置的長度，而髕腱與脛骨有 30 度的夾角。因此，有效力臂（垂直距離）實際上只有 $3 \times \sin(30^\circ) = 1.5$ 公分。所需的總力矩為 $7.5 \, N\cdot m$ ，除以有效力臂 $0.015 \, m$ ，得到髕腱張力為 $500 \, N$ 。

核心知識點

力臂（Moment Arm）的重要性：肌力產生的力矩大小取決於力臂長度。髕骨（Patella）的主要功能即是作為滑輪，增加股四頭肌/髕腱的力臂，使伸膝動作更省力。
三角函數在生物力學的應用：
- 力臂 $d = r \sin(\theta)$
- 當肌肉拉力角度（ $\theta$ ）為 $90^\circ$ 時，力臂最長（ $\sin 90^\circ = 1$ ），產生的力矩最大。
- 本題角度僅 $30^\circ$ ，顯示此時肌肉效率較低，需要更大的肌肉張力來產生相同的角加速度。
單位換算：計算時務必將公分（cm）換算為公尺（m），質量用公斤（kg），角度用弧度（rad）或對應的三角函數值。

參考資料

114年第二次專技高考醫師中醫師第一階段考試 - 物理治療基礎學 (試題編號56)
Nordin, M., & Frankel, V. H. (2001). Basic biomechanics of the musculoskeletal system. Lippincott Williams & Wilkins. (Knee joint biomechanics section).

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