假設母群體平均值為 μ ，每次抽樣的樣本數為 n ，樣本的平均值為 X ，依照統計學上的中央極限定理，下列敘述何者正確？① n 越大時， X 越接近 μ ② n 越大時， X 越遠離 μ ③ n 越大時，每次抽樣得到的 X 的變異越小④ n越大時，每次抽樣得到的 X 的變異越大

本題觀念：

本題主要測驗 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 以及 樣本平均數抽樣分佈 (Sampling Distribution of the Sample Mean) 的特性。

核心概念包含以下兩點：

1. 大數法則 (Law of Large Numbers) 與 CLT 的共同隱含意義：當樣本數 ($n$) 越大，樣本平均數 ($\bar{X}$) 會越趨近於母體平均數 ($\mu$)。
2. 標準誤 (Standard Error, SE) 的公式：樣本平均數的變異數 (Variance of $\bar{X}$) 會隨著樣本數增加而變小。

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選項分析

• ① n 越大時，X 越接近 μ：正確。
  • 根據中央極限定理與大數法則，隨著樣本數 ($n$) 增加，樣本平均數的抽樣分佈會呈現常態分佈，且分佈會越集中在母體平均數 ($\mu$) 附近。
  • 數學上，樣本平均數的標準差（即標準誤 $SE$）為 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。當 $n$ 變大，標準誤變小，代表 $\bar{X}$ 偏離 $\mu$ 的機率與幅度都變小，因此 $\bar{X}$ 會越接近 $\mu$。

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