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115年:醫物幅安(1)

體重70公斤的人體中，平均含有0.2％的鉀元素，若⁴⁰K豐度為0.012％，則⁴⁰K的活度約為多少Bq？（⁴⁰K的半衰期為 1.28×10⁹年）

A4.3×10³
B7.7×10³
C4.3×10⁴
D7.7×10⁴

詳細解析

本題觀念：

本題測驗的核心在於「放射性活度（Activity）」的計算。活度定義為單位時間內發生衰變的原子數，其物理意義的數學公式為 A=λNA = \lambda N，其中 λ\lambda 為衰變常數（Decay constant），NN 為放射性同位素的原子總數。解題的關鍵在於將體內的鉀質量換算為鉀-40（40^{40}K）的原子數，並將半衰期轉換為「秒」，以求得標準單位貝克（Bq，即次/秒）的活度。

選項分析

  • (A) 4.3×10³：正確。經過計算，70公斤人體內的 40^{40}K 活度約為 4340 Bq，最接近此選項。
  • (B) 7.7×10³：錯誤。此數值可能來自於未正確轉換半衰期的時間單位，或是誤植了亞佛加厥常數與豐度的乘積。
  • (C) 4.3×10⁴：錯誤。計算數量級錯誤，活度被高估了 10 倍，可能是小數點或百分比（如將 0.2% 誤算為 2% 或將豐度 0.012% 誤算為 0.12%）計算時發生的失誤。
  • (D) 7.7×10⁴：錯誤。同樣為數量級與數值皆錯誤的干擾選項。

答案解析

我們可將計算拆解為以下三個步驟：

第一步：計算體內 40^{40}K 的原子總數 (NN)

  1. 體內鉀元素的總質量： 70 kg×0.2%=70,000 g×0.002=140 g70 \text{ kg} \times 0.2\% = 70,000 \text{ g} \times 0.002 = 140 \text{ g}
  2. 計算鉀元素的總莫耳數（此處將鉀的平均原子量近似為 40 g/mol 以符合選項設計的推演，若用 39.1 g/mol 亦可得極度相近的結果）： 140 g÷40 g/mol=3.5 mol140 \text{ g} \div 40 \text{ g/mol} = 3.5 \text{ mol}
  3. 計算 40^{40}K 的原子數 (NN)： 40^{40}K 豐度為 0.012%，並乘以亞佛加厥常數 (6.02×10236.02 \times 10^{23}) N=3.5 mol×0.012%×(6.02×1023 atoms/mol)N = 3.5 \text{ mol} \times 0.012\% \times (6.02 \times 10^{23} \text{ atoms/mol}) N=3.5×0.00012×6.02×1023≈2.528×1020 atomsN = 3.5 \times 0.00012 \times 6.02 \times 10^{23} \approx 2.528 \times 10^{20} \text{ atoms}

第二步：計算衰變常數 (λ\lambda) 半衰期 T1/2=1.28×109T_{1/2} = 1.28 \times 10^9 年，必須先換算為「秒」才能得到單位為 Bq（1 Bq = 1 次衰變/秒）的結果：

  1. 1 年的秒數 ≈365×24×60×60=31,536,000 s\approx 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 31,536,000 \text{ s}
  2. T1/2=1.28×109×3.1536×107 s≈4.037×1016 sT_{1/2} = 1.28 \times 10^9 \times 3.1536 \times 10^7 \text{ s} \approx 4.037 \times 10^{16} \text{ s}
  3. 衰變常數 λ=ln⁡2T1/2=0.6934.037×1016 s≈1.717×10−17 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{4.037 \times 10^{16} \text{ s}} \approx 1.717 \times 10^{-17} \text{ s}^{-1}

第三步：計算活度 (AA) A=λ×NA = \lambda \times N A=(1.717×10−17 s−1)×(2.528×1020 atoms)A = (1.717 \times 10^{-17} \text{ s}^{-1}) \times (2.528 \times 10^{20} \text{ atoms}) A≈4340 Bq=4.34×103 BqA \approx 4340 \text{ Bq} = 4.34 \times 10^3 \text{ Bq} 計算結果與選項 (A) 的 4.3×10³ 完全吻合，故選 (A)。

核心知識點

醫事放射師國考中，放射物理學的基礎計算是必考題型，考生必須熟練掌握以下觀念：

  1. 活度基本公式：A=λNA = \lambda N
  2. 衰變常數與半衰期的轉換：λ=ln⁡2T1/2≈0.693T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}
  3. 單位轉換的敏感度：要得到活度單位貝克 (Bq，decay per second)，半衰期的時間單位必須從年 (years) 轉換為秒 (seconds)。
  4. 化學計量基礎：特定同位素原子數 N=總質量原子量×同位素豐度×亞佛加厥常數N = \frac{\text{總質量}}{\text{原子量}} \times \text{同位素豐度} \times \text{亞佛加厥常數}。

臨床重要性

鉀-40 (40^{40}K) 具有約 12.8 億年的超長半衰期，是人體內最主要的「天然體內放射性核種」。由於人體內的鉀離子受到嚴密的恆定機制 (Homeostasis) 調控，因此每個人體內的 40^{40}K 活度相對穩定，通常介於 3,000 至 5,000 Bq 之間（主要取決於個體的瘦肉組織質量與體重）。這在輻射防護與背景輻射評估中，是理解人類天然輻射曝露與計算體內年有效劑量的重要基準數據。

參考資料

  1. 115 年第一次專門職業及技術人員高等考試醫事放射師考試-醫學物理學與輻射安全
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