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115年:醫物幅安(1)

鋁（Al）對1 MeV光子的線性衰減係數（ linear attenuation coefficient ）為0.166 cm⁻¹，不考慮增建因數，欲將此光子強度減為原來的5％，則需要幾公分的鋁？

A13.8
B18.0
C8.3
D1.4

詳細解析

本題觀念：

本題主要測驗輻射物理中的「光子射束衰減（Photon Beam Attenuation）」觀念。當單一能量（單能）的光子射束穿透物質時，若不考慮增建因數（buildup factor），其強度的衰減會遵循指數衰減定律（Exponential attenuation law）。

公式為： I=I0e−μxI = I_0 e^{-\mu x}

其中：

  • I0I_0：入射前原始光子強度
  • II：穿透厚度為 xx 的物質後之光子強度
  • μ\mu：該物質對特定能量光子的線性衰減係數（linear attenuation coefficient），單位通常為 cm−1\text{cm}^{-1}
  • xx：物質的厚度，單位為 cm\text{cm}

選項分析

題目已知條件：

  • μ=0.166 cm−1\mu = 0.166 \text{ cm}^{-1}
  • 欲將光子強度減為原來的 5%，即 I=0.05×I0I = 0.05 \times I_0 或 II0=0.05\frac{I}{I_0} = 0.05
  • 未考慮增建因數，因此直接代入指數衰減公式。

計算過程： 0.05I0=I0e−0.166x0.05 I_0 = I_0 e^{-0.166 x} 0.05=e−0.166x0.05 = e^{-0.166 x}

兩邊取自然對數（ln⁡\ln）： ln⁡(0.05)=−0.166x\ln(0.05) = -0.166 x −2.9957=−0.166x-2.9957 = -0.166 x x=−2.9957−0.166≈18.046 cmx = \frac{-2.9957}{-0.166} \approx 18.046 \text{ cm}

  • (A) 13.8：若厚度為 13.8 cm，則穿透強度為 e−0.166×13.8≈e−2.29≈0.101e^{-0.166 \times 13.8} \approx e^{-2.29} \approx 0.101，光子強度減為約 10% ，而非 5%。
  • (B) 18.0：計算結果約為 18.046 cm，最接近 18.0 cm。為正確答案。
  • (C) 8.3：若厚度為 8.3 cm，則穿透強度為 e−0.166×8.3≈e−1.378≈0.252e^{-0.166 \times 8.3} \approx e^{-1.378} \approx 0.252。這大約相當於2個半值層（HVL, Half-Value Layer），即強度降為四分之一（25%）。
  • (D) 1.4：數值過小，對應的穿透強度為 e−0.166×1.4≈0.79e^{-0.166 \times 1.4} \approx 0.79（79%），無法將強度減至 5%。

答案解析

根據指數衰減定律 I=I0e−μxI = I_0 e^{-\mu x}，要將光子強度降至原本的 5%，所需的鋁屏蔽厚度經由 ln⁡(0.05)/(−0.166)\ln(0.05) / (-0.166) 計算後，可得出約 18.046 cm。選項 (B) 18.0 最為符合。

此外，這題也可以透過半值層（Half-Value Layer, HVL）的概念作快速估算：

  1. HVL=ln⁡(2)μ=0.6930.166≈4.175 cm\text{HVL} = \frac{\ln(2)}{\mu} = \frac{0.693}{0.166} \approx 4.175 \text{ cm}。
  2. 5% 的強度介於 2−42^{-4} (6.25%) 到 2−52^{-5} (3.125%) 之間，代表需要 4 到 5 個 HVL 之間的厚度。
  3. 4×4.175=16.7 cm4 \times 4.175 = 16.7 \text{ cm}；5×4.175=20.875 cm5 \times 4.175 = 20.875 \text{ cm}。
  4. 18.0 cm 恰好落在這個合理的區間內。

核心知識點

醫事放射師在準備此類題型時，須熟練掌握以下公式與概念：

  1. 指數衰減公式 (Exponential attenuation equation)：I=I0e−μxI = I_0 e^{-\mu x}（窄束、單能輻射不考慮增建因數的情況）。
  2. 線性衰減係數 (Linear attenuation coefficient, μ\mu)：隨光子能量與吸收物質的密度/原子序而改變。
  3. 半值層 (HVL) 與什值層 (TVL) 的轉換關係：
    • HVL=ln⁡(2)μ≈0.693μ\text{HVL} = \frac{\ln(2)}{\mu} \approx \frac{0.693}{\mu}
    • TVL=ln⁡(10)μ≈2.302μ\text{TVL} = \frac{\ln(10)}{\mu} \approx \frac{2.302}{\mu}
  4. 屏蔽計算中對於對數（logarithm）運算的基本手感或估算技巧（如：e−3≈0.05e^{-3} \approx 0.05）。

參考資料

  1. Radiation Physics: Attenuation of X-rays and Gamma Rays (基礎輻射物理學教材/指數衰減定律章節)
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