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115年:放射器材(1)

某物體在 CT影像中，其一維 sensitivity profile 如果可以用高斯函數（ Gaussian function ）描述為如圖，其中x的單位是 cm。則此影像 1D sensitivity profile 之半高全寬（ FWHM）約為多少cm？ 圖片

A2.63
B5.27
C7.90
D10.53

詳細解析

本題觀念：

CT 影像的切面靈敏度剖面（Slice Sensitivity Profile, SSP）描述了 CT 掃描器在 z 軸方向（即切片方向）對訊號的響應。當 SSP 可以用高斯函數（Gaussian function）描述時，其半高全寬（Full Width at Half Maximum, FWHM）是評估切片厚度解析力的關鍵指標。

高斯函數的標準形式為： f(x)=A⋅e−x22σ2f(x) = A \cdot e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}

其中 σ\sigma 為標準差（standard deviation），AA 為振幅。

FWHM 與 σ\sigma 的關係： FWHM=22ln⁡2×σ≈2.355σ\text{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2} \times \sigma \approx 2.355\sigma

影像分析

題目圖片中顯示的高斯函數為： f(x)=10×e−x210f(x) = 10 \times e^{-\frac{x^2}{10}}

參數識讀：

  • 振幅 A=10A = 10
  • 指數中分母為 1010，即 2σ2=102\sigma^2 = 10
  • 因此 σ2=5\sigma^2 = 5，σ=5≈2.236\sigma = \sqrt{5} \approx 2.236 cm
  • x 軸單位為 cm

FWHM 計算： FWHM=22ln⁡2×σ=2.355×5=2.355×2.236≈5.27 cm\text{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2} \times \sigma = 2.355 \times \sqrt{5} = 2.355 \times 2.236 \approx 5.27 \text{ cm}

驗證（代入定義）：求使 f(x)=A/2=5f(x) = A/2 = 5 的 xx 值： 10×e−x2/10=5  ⟹  e−x2/10=0.5  ⟹  −x2/10=ln⁡(0.5)  ⟹  x2=10ln⁡2≈6.93110 \times e^{-x^2/10} = 5 \implies e^{-x^2/10} = 0.5 \implies -x^2/10 = \ln(0.5) \implies x^2 = 10\ln 2 \approx 6.931 x=10ln⁡2≈2.633 cmx = \sqrt{10\ln 2} \approx 2.633 \text{ cm} FWHM=2x≈5.27 cm\text{FWHM} = 2x \approx 5.27 \text{ cm}

選項分析

  • 選項A（2.63 cm）❌：約等於 x1/2x_{1/2}（單側半寬），只是 FWHM 的一半，此為常見計算錯誤，忘記乘以 2。
  • 選項B（5.27 cm）✅：正確答案。FWHM=2×2.633≈5.27\text{FWHM} = 2 \times 2.633 \approx 5.27 cm，或用公式 2.355×5≈5.272.355 \times \sqrt{5} \approx 5.27 cm。
  • 選項C（7.90 cm）❌：約等於 3×2.633=7.903 \times 2.633 = 7.90，無物理意義，可能為混淆選項。
  • 選項D（10.53 cm）❌：約等於 4×2.633=10.534 \times 2.633 = 10.53，同樣為無物理意義的混淆選項。

答案解析

本題關鍵在於正確解讀圖中高斯函數的 σ\sigma 值，再套用 FWHM 公式。

圖中函數 f(x)=10e−x2/10f(x) = 10e^{-x^2/10}，對應標準形式 Ae−x2/(2σ2)Ae^{-x^2/(2\sigma^2)}，可知 2σ2=102\sigma^2 = 10，即 σ=5\sigma = \sqrt{5}。

代入公式：FWHM=22ln⁡2×5≈2.355×2.236≈5.27\text{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2} \times \sqrt{5} \approx 2.355 \times 2.236 \approx 5.27 cm。

選項A（2.63 cm）是常見陷阱——它只是半高時的單側寬度 x1/2x_{1/2}，FWHM 是「全寬」（Full Width），需要乘以 2。

在 CT 物理中，SSP 的 FWHM 對應的是有效切片厚度（effective slice thickness），此數值越小代表 z 軸解析力越好。

核心知識點

  • FWHM 公式：FWHM=22ln⁡2⋅σ≈2.355σ\text{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2} \cdot \sigma \approx 2.355\sigma，此為高斯函數的基本性質。
  • σ\sigma 讀取：若指數項為 e−x2/ce^{-x^2/c}，則 2σ2=c2\sigma^2 = c，σ=c/2\sigma = \sqrt{c/2}。
  • 切面靈敏度剖面（SSP）：描述 CT 掃描器在 z 軸方向的空間響應函數，理想情況為矩形，實際上接近高斯分佈。
  • SSP 與切片厚度：FWHM 即為有效切片厚度，是評估 CT z 軸解析力的標準指標。
  • FWHM 的定義：半高值（half maximum）時對應的全寬度，計算時需特別注意是「全寬」非「半寬」。

參考資料

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