某射源的半衰期為 10天，其衰變常數為：

本題觀念：

本題考查放射物理學中最基礎的放射性衰變公式。在放射性核種的衰變過程中，衰變常數（decay constant, $\lambda$）與物理半衰期（physical half-life, $T_{1/2}$）之間存在固定的數學關係。

衰變常數 $\lambda$ 定義為單位時間內單一原子核發生衰變的機率，其單位必然為時間的倒數（例如：$\text{sec}^{-1}$、$\text{day}^{-1}$、$\text{yr}^{-1}$）。 物理半衰期 $T_{1/2}$ 則是放射性核種數量或活度（activity）衰變至初始值一半所需的時間。 兩者的關係式推導自指數衰減公式 $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$，當經過一個半衰期 $t = T_{1/2}$ 時，$N(t) = N_0 / 2$： $\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$ 兩邊取自然對數後可得： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$

選項分析

• (A) 0.693 day：數值 0.693 僅為自然對數 $\ln 2$ 的近似值，並未除以半衰期。此外，衰變常數的單位應為時間的倒數（$\text{day}^{-1}$），此選項單位（day）錯誤，可直接排除。
• (B) 0.1386 day-1：計算錯誤。若誤將分子視為 $2 \times 0.693$ 再除以 $10$，才會得出此結果。
• (C) 0.0693 day-1：正確。根據公式 $\lambda = 0.693 / 10 = 0.0693 \text{ day}^{-1}$，且單位（$\text{day}^{-1}$）正確無誤。
• (D) 0.0139 day：數值計算錯誤，且單位（day）錯誤，並非時間的倒數。

答案解析

題目已知某射源的半衰期 $T_{1/2} = 10$ 天。 將數值代入衰變常數與半衰期的關係式： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{10 \text{ days}} = 0.0693 \text{ day}^{-1}$ 因此，該射源的衰變常數為 $0.0693 \text{ day}^{-1}$，正確答案為 (C)。在面對此類考題時，除了計算數值外，優先檢查物理量的單位（衰變常數必須為時間的倒數）是一種非常有效的解題技巧，可以幫助考生迅速刪去 (A) 與 (D) 兩個單位錯誤的選項。

核心知識點

醫事放射師在準備放射物理學及核子醫學相關科目時，必須熟記以下基礎衰變動力學（decay kinetics）觀念：

1. 衰變方程式：$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$，其中 $A$ 為活度。
2. 半衰期與衰變常數的關係：$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$。
3. 單位判斷：
   • 半衰期（$T_{1/2}$）的單位為時間（如：sec, min, hr, day, yr）。
   • 衰變常數（$\lambda$）的單位為時間的倒數（如：$\text{sec}^{-1}$, $\text{day}^{-1}$）。
4. 平均壽命（Mean life, $\tau$）：射源完全衰變所需的平均時間，公式為 $\tau = \frac{1}{\lambda} = 1.44 \times T_{1/2}$，此亦為國考常考的計算觀念。

參考資料

1. Decay constant | Definition, Formula, & Facts - Britannica