放射核種經一段時間衰變，此一段時間為其平均壽命（ mean life ），則其衰變掉的活性約為原來的多少％？

本題觀念：

本題測驗核醫學與輻射物理中最基礎的「放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）」以及「平均壽命（Mean life）」的物理意義。 放射性核種的活性（Activity）隨時間呈指數衰減，其公式為： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ 其中，$A_0$ 為初始活性，$\lambda$ 為衰變常數（Decay constant），$t$ 為經過的時間。

**平均壽命（Mean life, $\tau$）**的定義為一群放射性原子核衰變前存活的平均時間。在數學上，它剛好等於衰變常數的倒數： $\tau = \frac{1}{\lambda}$

選項分析

當核種經過的時間恰好等於一個「平均壽命」（即 $t = \tau = \frac{1}{\lambda}$）時，我們將其代入衰減公式中： $A(\tau) = A_0 e^{-\lambda \times \frac{1}{\lambda}} = A_0 e^{-1}$ 自然對數的底數 $e \approx 2.718$，因此 $e^{-1} \approx 0.3678$。 這表示經過一個平均壽命的時間後，**「殘存（未衰變）」**的活性大約為原來的 $36.8\%$（約 $37\%$）。

然而，題目詢問的是**「衰變掉的活性」**。 衰變掉的比例 = 初始全部的活性 - 殘存的活性 $= 100\% - 36.8\% = 63.2\%$（約 $63\%$）。

• (A) 37：錯誤。此為經過一個平均壽命後「殘存（未衰變）」的活性百分比。這是此類考題中最常見的陷阱選項。
• (B) 63：正確。此為經過一個平均壽命後「已經衰變掉」的活性百分比，符合題意。
• (C) 52：錯誤。無直接對應的物理意義。若經過的時間為「半衰期（Half-life）」，則衰變掉的比例應為 $50\%$。
• (D) 48：錯誤。無直接對應的物理意義。

答案解析

解題的關鍵在於兩個步驟：

1. 認知到經過一個「平均壽命」時，代入指數衰減公式會得到 $e^{-1}$，也就是殘存量約為 $37\%$。
2. 仔細閱讀題幹，題目所求為「衰變掉的活性」，因此必須用 $100\%$ 扣除殘存的 $37\%$，得到 $63\%$。正確選項為 B。

核心知識點

醫事放射師在準備此類輻射物理考題時，務必熟記以下參數的定義與彼此間的轉換公式：

1. 衰變常數（$\lambda$）：單位時間內單一原子核發生衰變的機率。
2. 半衰期（$T_{1/2}$）：活性衰減至原來一半所需的時間。 $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$
3. 平均壽命（$\tau$）： $\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{0.693} \approx 1.443 \times T_{1/2}$ （記憶口訣：平均壽命大約是半衰期的 1.44 倍）
4. 考試陷阱提醒：計算完畢後務必確認題目問的是「殘存量（Remaining）」還是「衰變量（Decayed）」。

臨床重要性

「平均壽命」在臨床上不僅僅是一個物理常數，它在**核子醫學的內部劑量評估（Internal Dosimetry，如 MIRD 系統）以及接源放射治療（Brachytherapy，如永久性植入的碘-125 粒子）**中扮演關鍵角色。

當我們將放射性藥物注射入人體，或將放射性假種子永久植入體內，若要計算這些核種「從現在到完全衰變為止」總共放出的輻射數量（即累積活性，Cumulative Activity, $\tilde{A}$），其數學上等於對衰變公式從時間 $t=0$ 積分到 $t=\infty$： $\tilde{A} = \int_{0}^{\infty} A_0 e^{-\lambda t} dt = \frac{A_0}{\lambda} = A_0 \times \tau$ 換言之，總累積衰變次數剛好等於「初始活性」乘上「平均壽命」。這也是為何平均壽命這個概念在臨床輻射劑量計算上極度實用的原因。

參考資料

1. Testbook: In a sample of radioactive material, what percentage of the initial number of active nuclei will decay during one mean life?