放射 - 核醫計數統計學考古題解析 - 民國115年

本題觀念：

本題測驗的核心觀念為輻射計數測量中的「卜瓦松分布（Poisson distribution）」特性以及「誤差傳遞定律（Propagation of error）」。在輻射探測中，放射性核種的衰變屬於隨機事件，其測量到的計數值（counts）服從卜瓦松分布。卜瓦松分布的一個重要數學特性是：單次測量所得計數值 $N$ 的變異數（variance, $\sigma^2$ ）等於該計數值本身（ $\sigma^2 \approx N$ ），因此其標準差（standard deviation, $\sigma$ ）為 $\sqrt{N}$ 。當我們需要求取「淨計數（net counts）」時，會將「樣品總計數（gross counts）」減去「背景計數（background counts）」。在處理這種兩個獨立隨機變數相減的狀況時，必須根據誤差傳遞法則來計算新的標準差：兩個獨立變數相減的變異數，等於各自變異數之「和」。

選項分析

(A) 169：錯誤。此數值為變異數 $16,900$ 除以 $100$ ，或是單純因為 $13^2 = 169$ 所設計的數值誘答選項。計算標準差必須將變異數總和開根號，得到 $130$ 而非 $169$ 。
(B) 130：正確答案。根據誤差傳遞定律，淨計數的變異數為「總計數變異數」與「背景計數變異數」相加（ $14,400 + 2,500 = 16,900$ ）。將其開根號後即可求得淨計數的標準差為 $\sqrt{16,900} = 130$ 。
(C) 120：錯誤。此數值為單純將「樣品總計數」開根號所得的標準差（ $\sqrt{14,400} = 120$ ），並非扣除背景後的淨計數標準差。
(D) 50：錯誤。此數值為單純將「背景計數」開根號所得的標準差（ $\sqrt{2,500} = 50$ ），並非淨計數的標準差。

答案解析

計算淨計數標準差的詳細步驟如下：

定義已知數值與變異數：
- 樣品總計數（ $N_g$ ） $= 14,400$ ，其變異數 $\sigma_g^2 = 14,400$ 。
- 背景計數（ $N_b$ ） $= 2,500$ ，其變異數 $\sigma_b^2 = 2,500$ 。
計算淨計數：
- 淨計數（ $N_n$ ） $= N_g - N_b = 14,400 - 2,500 = 11,900$ （此為上一題的結果）。
應用誤差傳遞定律計算變異數：
- 在統計學上，若 $Z = X - Y$ 且 $X, Y$ 為獨立變數，則變異數的傳遞公式為 $\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$ 。
- 淨計數的變異數 $\sigma_n^2 = \sigma_g^2 + \sigma_b^2 = 14,400 + 2,500 = 16,900$ 。
計算標準差：
- 將淨計數的變異數開平方根： $\sigma_n = \sqrt{16,900} = 130$ 。故淨計數的標準偏差為 130，正確答案選擇 (B)。

核心知識點

醫事放射師在準備輻射物理與核子醫學儀器相關考題時，務必熟記以下計數統計學公式：

卜瓦松分布基礎：
- 計數值 $N$ ：變異數 $V = N$ ；標準差 $\sigma = \sqrt{N}$ 。
淨計數（Net counts）與變異數傳遞：
- 淨計數 $N_n = N_g - N_b$
- 淨計數標準差 $\sigma_n = \sqrt{N_g + N_b}$ （切記根號內部是「相加」而非相減）。
計數率（Count rate）的標準差：
- 若測量時間為 $t$ ，計數率 $R = N/t$ 。
- 計數率的標準差 $\sigma_R = \frac{\sqrt{N}}{t} = \sqrt{\frac{R}{t}}$ 。
- 淨計數率的標準差 $\sigma_{R_n} = \sqrt{\frac{R_g}{t_g} + \frac{R_b}{t_b}}$ 。

臨床重要性

在核醫科與體外放射分析（RIA）實驗室中，所有臨床檢體與輻射偵測儀器（如井型閃爍計數器、加馬攝影儀）的品保測試都會受到背景輻射的干擾。了解淨計數的標準差能幫助放射師建立正確的「信賴區間」（如 95% 信賴水準為淨計數 $\pm 1.96\sigma$ ）。這確保了在判定微量放射性殘留（如擦拭測試、甲狀腺攝取率）時，有足夠的統計學依據判定結果是否具有臨床意義，並能依此調整樣品或背景的計數時間以達到所需的統計精密度。

參考資料

Google 搜尋結果：輻射計數統計與誤差傳遞實例探討 (https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEll0kVLBnwNCyzUxJUAjz-6IRBWlVDRRLuVj0XlsiZcj8uU1sy4z67UApTPExxniFG218asx7sbPF8HJLo-BHPo-P6nfKo-bqvGLOGJXS4c8BzmzgCyr2kyCdeem7cXY4Xr58WJGz48A==)
Google 搜尋結果：阿摩線上測驗 - 醫事放射師醫學物理學與輻射安全相關歷屆試題 (https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGsVyNzCmq6Ln7RldBjDKOLl8rA2lk5UbvHQusMXUGV0IIQbimAbb8_v_j25QA87fZf9yqsM4nxwtJ380jCVJRdsEvV56zspCZIeRIupPsZnqZVlWzLgDA1u_gi8-kcVP3ueJMVMDf5QJGsT-RsYVxmiCsBw3wk7s5YAWdI7UbIc6j2qpjQQwfRfmyVMtw5WcUAjGWGWJPE2d963A25vUsmWW9vlt775HnVJkTNl-2RGfhJo6ZOrAUUylE2_i61yKhAr3IclqipDcpaBx4pBpPsU-RolVtuQH_heFy9g5WAM-RfX1-PSly7LNCzM9i-0-Bap3tj6vzubrT_8RT-MyIrGQYO73Uzghr8e1wbUoGllpU32JgJJJ_r7AsFWLl_abwSKSHNrhYPiqMrOgvcovbs8EXCVMOJPrX8iL8sRbkHzfT6h4LV3RD45W3VpLVc_-CcOCjHYQf5JlXn5wjR9aanSOPCZD8o)

承上題【在放射樣本計數（ counts）測量中，樣品總計數為 14,400，背景計數為 2,500，則淨計數為下列何者？】，標準偏差（ standard deviation ）為何？

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