20 MeV光子在Ge中，其回散射光子能量約為何？

本題觀念：

本題測驗的核心概念為**康普頓散射（Compton scattering）**的運動學，以及在高能光子入射下，**回散射峰（Backscatter peak）**能量的物理極限值。當光子與物質（如題目中的鍺，Ge）內的自由電子或束縛能極弱的外層電子發生彈性碰撞時，光子會將部分能量轉移給電子，自身則以較低的能量散射。當散射角度為 $180^\circ$（即完全反向彈回）時，稱為回散射，此時散射光子保留的能量為所有散射角度中最小。

選項分析

• (A) 0.256 MeV：正確。根據康普頓散射公式，當入射光子能量極大時，回散射光子的能量會趨近於電子靜止質量能量的一半（即 $0.511 \text{ MeV} / 2 = 0.2555 \text{ MeV} \approx 0.256 \text{ MeV}$）。20 MeV 屬於極高能光子，因此其回散射能量非常接近此極限值。
• (B) 0.511 MeV：錯誤。此為電子的靜止質量能量（$m_e c^2$），也是成對產生（Pair production）後，正子與電子發生互毀作用（Annihilation）所產生的單一光子能量，並非回散射光子的極限能量。
• (C) 1.022 MeV：錯誤。此為發生「成對產生」所需的最低閾值能量（Threshold energy），即兩倍的電子靜止質量能量（$2 \times 0.511 \text{ MeV}$）。
• (D) 2.044 MeV：錯誤。此數值僅為 1.022 MeV 的兩倍，為考題設計的干擾選項，無直接對應的輻射物理意義。

答案解析

康普頓散射後的光子能量 $E'$ 公式為： $E' = \frac{E}{1 + \frac{E}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}$ 其中：

• $E$ 為入射光子能量（本題為 20 MeV）
• $m_e c^2$ 為電子靜止質量能量，約為 0.511 MeV
• $\theta$ 為光子散射角

當光子發生回散射時，散射角 $\theta = 180^\circ$，$\cos(180^\circ) = -1$，公式簡化為： $E' = \frac{E}{1 + \frac{2E}{0.511}}$ 將分子與分母同除以入射能量 $E$： $E' = \frac{1}{\frac{1}{E} + \frac{2}{0.511}}$ 當入射光子能量 $E$ 非常大時（$E \gg 0.511 \text{ MeV}$，例如本題的 20 MeV），分母中的 $\frac{1}{E}$ 項會趨近於 0。因此，高能光子的回散射能量極限值為： $E'_{limit} = \frac{0.511}{2} = 0.2555 \text{ MeV} \approx 0.256 \text{ MeV}$

若將 $E = 20 \text{ MeV}$ 精確代入公式計算： $E' = \frac{20}{1 + \frac{40}{0.511}} \approx \frac{20}{1 + 78.28} = 0.252 \text{ MeV}$ 在選擇題中最接近且符合此高能極限物理意義的數值即為 0.256 MeV。題目特別提到「在 Ge（鍺）中」，鍺是常見的高純度半導體偵檢器（HPGe）材料，但材質本身的原子序與束縛能並不影響高能光子康普頓散射的運動學純能量計算。

核心知識點

考生在準備輻射物理與加馬能譜學（Gamma-ray spectroscopy）時，務必熟記以下常見的能量特徵值：

1. 電子靜止質量能量：$0.511 \text{ MeV}$
2. 成對產生閾值：$1.022 \text{ MeV}$
3. 回散射峰（Backscatter peak）極限：任何高能入射光子（$E > 1 \text{ MeV}$）的回散射峰能量皆會落在約 $0.25 \text{ MeV} \sim 0.256 \text{ MeV}$ 處。
4. 康普頓邊緣（Compton edge）：發生在 $\theta = 180^\circ$ 時反彈電子所獲得的最大動能，其能量約為 $E - 0.256 \text{ MeV}$。
5. 逃逸峰（Escape peaks）：發生成對產生後，若 0.511 MeV 的互毀光子逃離偵檢器，會形成「單逃逸峰（$E - 0.511 \text{ MeV}$）」與「雙逃逸峰（$E - 1.022 \text{ MeV}$）」。

實務重要性

在核醫學或輻射防護的加馬能譜分析中，回散射峰是一個非常普遍的特徵。由於閃爍偵檢器（如 NaI(Tl)）或半導體偵檢器（如 HPGe）周圍常有屏蔽材質（如鉛塊）或其他結構物，穿透偵檢器的光子若在周圍物質發生 $180^\circ$ 康普頓散射並折返進入偵檢器，就會在能譜的低能區段（約 200 - 250 keV 之間）形成一個明顯的寬峰（Broad peak），這就是實務上經常觀察到的回散射峰，了解其極限能量有助於判讀能譜背景值。

參考資料

1. Scintillation Detector Principles - MIT OpenCourseWare