ExamWise
114年:醫物幅安(2)

若電子動能為70 keV，則其速度約為何？

A1.12×10⁷ m/s
B2.86×10⁸ m/s
C1.56×10⁸ m/s
D1.12×10¹⁴ m/s

詳細解析

本題觀念：

本題考查的是基本輻射物理學中的「電子動能與速度之關係」。 在游離輻射的相關計算中，電子的動能 (KK) 可以透過其質量 (mm) 與速度 (vv) 進行換算。需要注意的是，當電子動能接近或超過其靜止質量能量（E0=511 keVE_0 = 511 \text{ keV}）時，嚴格來說必須使用相對論公式（Relativistic formula）。然而，在許多放射師國考題的簡化計算中，若動能相對較小，出題者有時會採用古典力學公式（Non-relativistic formula）來命題。本題我們將透過計算來驗證。

答案解析與計算過程

  1. 已知常數：

    • 電子動能 K=70 keV=70×103 eVK = 70 \text{ keV} = 70 \times 10^3 \text{ eV}
    • 1 eV=1.6×10−19 焦耳 (J)1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ 焦耳 (J)}
    • 電子靜止質量 me≈9.11×10−31 kgm_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}

  2. 使用古典力學公式計算： 動能公式為 K=12mev2K = \frac{1}{2} m_e v^2

    • 將 keV 轉換為焦耳 (J)： K=70×103×1.6×10−19=1.12×10−14 JK = 70 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.12 \times 10^{-14} \text{ J}
    • 代入公式求 vv： 1.12×10−14=12×9.11×10−31×v21.12 \times 10^{-14} = \frac{1}{2} \times 9.11 \times 10^{-31} \times v^2 v2=2×1.12×10−149.11×10−31v^2 = \frac{2 \times 1.12 \times 10^{-14}}{9.11 \times 10^{-31}} v2≈2.458×1016v^2 \approx 2.458 \times 10^{16} v=2.458×1016≈1.56×108 m/sv = \sqrt{2.458 \times 10^{16}} \approx 1.56 \times 10^8 \text{ m/s} 計算結果與選項 (C) 完美吻合，證實本題預期考生使用古典力學公式作答。

  3. 補充：若使用相對論公式（真實物理情況）：

    • 電子的靜止質量能量 E0=511 keVE_0 = 511 \text{ keV}
    • 相對論動能 K=(γ−1)E0K = (\gamma - 1) E_0
    • 70=(γ−1)×511  ⟹  γ−1=70511≈0.137  ⟹  γ=1.13770 = (\gamma - 1) \times 511 \implies \gamma - 1 = \frac{70}{511} \approx 0.137 \implies \gamma = 1.137
    • 由 γ=11−β2\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} 可知（β=vc\beta = \frac{v}{c}）： 1−β2=11.1372≈0.7731 - \beta^2 = \frac{1}{1.137^2} \approx 0.773 β2≈0.227  ⟹  β≈0.476\beta^2 \approx 0.227 \implies \beta \approx 0.476
    • 真實速度 v=0.476c=0.476×3×108≈1.43×108 m/sv = 0.476c = 0.476 \times 3 \times 10^8 \approx 1.43 \times 10^8 \text{ m/s} 選項中並無此數值，故本題以古典力學公式求解為標準。

選項分析

  • (A) 1.12×10⁷ m/s：數值計算錯誤，可能是將能量或質量代錯數量級。
  • (B) 2.86×10⁸ m/s：數值錯誤，接近光速 (3×108 m/s3 \times 10^8 \text{ m/s})，這通常對應於動能高達數 MeV 範圍的電子。
  • (C) 1.56×10⁸ m/s：完全吻合上述使用古典力學公式求出的結果，為正確選項。
  • (D) 1.12×10¹⁴ m/s：此數值剛好等於電子動能的焦耳數值 (1.12×10−141.12 \times 10^{-14}) 忽略負號及單位錯亂的結果，或者是計算 v2v^2 過程中的嚴重數學錯誤。且此速度已遠大於光速，違反物理定律。

核心知識點

  1. 單位轉換：熟悉 eV\text{eV} 與 Joule\text{Joule} 之間的換算 (1 eV=1.6×10−19 J1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J})。
  2. 電子質量與能量常數：牢記電子質量 me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg} 以及電子靜止質量能量 511 keV511 \text{ keV}。
  3. 古典與相對論動能公式的適用時機：在放射師國考中，若題目未給定相對論運算的條件，或者計算相對論後找不到選項，優先考慮回歸古典力學公式 (K=12mv2K = \frac{1}{2} m v^2) 驗算。

參考資料

  1. 放射物理學基礎 (Fundamentals of Radiologic Physics), 相關動能與速度之計算原則。
了解本站架構