已知1 MeV的光子於碳的質量衰減係數為0.00636 m²/kg，且碳的密度為2250 kg/m³，則原子衰減係數約為多少m²/atom？

本題觀念：

本題測驗放射物理學中游離輻射與物質交互作用時，各種「衰減係數（Attenuation coefficients）」之間的定義與轉換。 在描述光子射束穿透物質的衰減程度時，有以下幾種常見的物理量表示法：

1. 線衰減係數 (Linear attenuation coefficient, $\mu$)：單位為 $m^{-1}$ 或 $cm^{-1}$，會隨物質密度改變。
2. 質量衰減係數 (Mass attenuation coefficient, $\mu_m$ 或 $\mu/\rho$)：單位為 $m^2/kg$ 或 $cm^2/g$。此數值已經排除了密度的影響，僅與物質的原子種類及光子能量有關。
3. 原子衰減係數 (Atomic attenuation coefficient, $\mu_a$)：又稱為微觀截面（Microscopic cross-section, $\sigma$），單位為 $m^2/atom$ 或 barns/atom。它表示「單一個原子」對光子產生作用的機率截面積。

這三者之間的數學關係建立在單位體積或單位質量的原子數量上。若已知質量衰減係數，可以藉由該元素的原子量（$A$）與亞佛加厥常數（$N_A$）求出單一原子的真實質量，進而換算出原子衰減係數。

選項分析

計算原子衰減係數 $\mu_a$ 的公式如下： $\mu_a = \mu_m \times \frac{\text{單一原子質量}}{1} = \mu_m \times \frac{A}{N_A}$

• 質量衰減係數 $\mu_m = 0.00636$ $m^2/kg$
• 碳 (Carbon) 的原子量 $A \approx 12$ $g/mol = 0.012$ $kg/mol$ （必須注意單位轉換，配合 $\mu_m$ 的 $kg$）
• 亞佛加厥常數 $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}$ $atoms/mol$

代入數值： $\mu_a = 0.00636 \times \frac{0.012}{6.022 \times 10^{23}}$ $\mu_a = 0.00636 \times 1.9927 \times 10^{-26}$ $\mu_a = 1.267 \times 10^{-28} \, m^2/atom$

• Option A ($1.27 \times 10^{-28}$)：計算結果正確。將 $1.267 \times 10^{-28}$ 四捨五入即為 $1.27 \times 10^{-28}$，單位為 $m^2/atom$。
• Option B ($1.27 \times 10^{-29}$)：指數錯誤，可能是計算時小數點位移錯誤。
• Option C ($1.27 \times 10^{-30}$)：指數錯誤。
• Option D ($1.27 \times 10^{-31}$)：指數錯誤。

答案解析

本題的正確答案為 A。 題目中雖然給予了「碳的密度為 $2250 \, kg/m^3$」這個條件，但這其實是干擾資訊 (Distractor)。原子衰減係數（單一原子的作用截面）是物質的本質特性，僅取決於光子能量與原子序，與巨觀的物質密度無關。如果考生誤用密度去計算出線衰減係數（$\mu = \mu_m \times \rho = 14.31 \, m^{-1}$），則很容易在後續推導過程中陷入混淆或發生因次（單位）錯誤。只要掌握「質量衰減係數」乘上「一個原子的質量（單位要統一為公斤）」即可精確且迅速地得到正確答案。

核心知識點

考生在準備放射物理學時，務必熟記以下參數的物理意義及單位互換：

1. Linear attenuation coefficient ($\mu$)：單位 $m^{-1}$，受巨觀密度影響。
2. Mass attenuation coefficient ($\mu/\rho$)：單位 $m^2/kg$。$\mu/\rho = \mu \div \rho$。
3. Atomic attenuation coefficient ($\mu_a$)：單位 $m^2/atom$。$\mu_a = (\mu/\rho) \times (A/N_A)$。
4. Electronic attenuation coefficient ($\mu_e$)：單位 $m^2/electron$。$\mu_e = \mu_a \div Z$（$Z$ 為原子序）。

• 解題技巧：考試時必須特別注意質量的單位。物理常數 $N_A$ 通常對應於 $mole$，而原子量 $A$ 的直覺單位是 $g/mol$。若題目給予的衰減係數帶有 $kg$，則必須將原子量轉換為 $kg/mol$ 才能獲得正確的數量級。

參考資料

1. ASNR - CHAPTER 1. BASIC RADIATION PHYSICS (https://www.asnr.org/wp-content/uploads/2019/06/Chapter-1.-Basic-Radiation-Physics.pdf)
2. Radiology Key - Interactions of Ionizing Radiation (https://radiologykey.com/interactions-of-ionizing-radiation-2/)