假設3 MeV的電子射程R(mg/cm²)＝530×E(MeV)－106，則在Al中（ρ＝2.70 g/cm³）需多少厚度才能完全阻擋？

本題觀念：

本題考查放射物理學中「電子射程（Electron Range）」的計算，以及「質量厚度（Mass thickness）」與「線性厚度（Linear thickness）」之間的單位換算。

電子（或貝他粒子）在物質中的最大射程通常以「質量厚度 $R$」來表示，單位為 $mg/cm^2$ 或 $g/cm^2$。使用質量厚度的好處在於，電子在不同物質中的射程若以此單位表示，數值會相當接近，因為電子的能量損失主要取決於物質的電子密度，而電子密度大致與質量密度成正比。

質量厚度 $R$ 與實際線性厚度 $x$ 的關係式為： $R = \rho \times x$ 其中 $\rho$ 為物質的密度。

題目中給定的公式 $R = 530 \times E - 106$ 是著名的 Katz and Penfold 經驗公式，專門用於估算能量 $E > 2.5$ MeV 的高能電子在物質中的最大射程。

選項分析

• 第一步：計算電子的質量厚度（射程） 已知電子能量 $E = 3$ MeV，代入題目給定的公式： $R = 530 \times 3 - 106 = 1590 - 106 = 1484 \ (mg/cm^2)$ 這代表需要 $1484 \ mg/cm^2$ 的質量厚度才能完全阻擋該電子。

• 第二步：將質量厚度轉換為鋁的線性厚度 已知鋁的密度 $\rho = 2.70 \ g/cm^3$。為了與質量厚度的單位（$mg$）保持一致，必須先將密度單位進行換算： $\rho = 2.70 \ g/cm^3 = 2700 \ mg/cm^3$ 接著，代入公式 $R = \rho \times x$ 求出厚度 $x$： $x = \frac{R}{\rho} = \frac{1484 \ mg/cm^2}{2700 \ mg/cm^3} \approx 0.5496 \ cm$ 四捨五入後約為 $0.55 \ cm$。

• (A) 0.55 cm：與計算結果完全吻合，為正確答案。

• (B) 1.48 cm：若計算時忽略鋁的密度，直接除以水的密度（$1000 \ mg/cm^3$），會得到 $1484 / 1000 = 1.484 \ cm$，此為未考慮屏蔽材質密度的常見錯誤。

• (C) 5.5 cm：為密度單位換算錯誤（如誤用 $270 \ mg/cm^3$），導致小數點位移相差十倍。

• (D) 14.8 cm：為完全忽略鋁的密度且單位換算錯誤的結果。

答案解析

正確答案為 (A)。 計算電子或貝他粒子的屏蔽厚度時，必須依序完成兩個核心步驟：首先透過 Katz and Penfold 經驗公式算出「質量厚度（$mg/cm^2$）」，其次利用屏蔽材質的實際密度（需注意單位統一為 $mg/cm^3$），將質量厚度除以密度，得出「線性厚度（$cm$）」。經計算 $1484 \div 2700 \approx 0.55$，故需 0.55 cm 的鋁板即可完全阻擋 3 MeV 的電子。

核心知識點

考生在準備此類題型時，務必熟記以下觀念：

1. 質量厚度與線性厚度的換算：$R \ (mg/cm^2) = \rho \ (mg/cm^3) \times x \ (cm)$。這在輻射防護與屏蔽設計的計算中極為常見。
2. Katz and Penfold 電子射程經驗公式：
   • 當電子能量 $0.01 \le E \le 2.5$ MeV 時：$R = 412 E^{1.265 - 0.0954 \ln E}$
   • 當電子能量 $E > 2.5$ MeV 時：$R = 530 E - 106$ （公式計算出的 $R$ 單位皆為 $mg/cm^2$）
3. 貝他屏蔽設計原則：屏蔽純貝他射源時，為避免產生穿透力強的制動輻射（Bremsstrahlung），應優先使用「低原子序（Low-Z）」材料（如壓克力、塑膠、鋁）完全吸收貝他粒子，外部再視情況加上高原子序材料（如鉛）來屏蔽殘餘的制動輻射。

參考資料

1. Beta Rays (Particles) - NE 581 -- Radiation Protection -- OSU Extended Campus (https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEjWwzxHZBv_HHGR4auTLT4Qd-o46Kv3zOi4kRidm6akQab8PJwMbiNKsMq1ARkQxeQ2kZ4IyZ43gnvWES7DkKze0dIkqAx4dlS15YlOB-hl7yspaHdEhRJlp2Ywao48xGyQ8UFK6zshDdynW5mS1oChaFgYiLWJDk=)