假設下列選項是一個圈選 3×3 畫素 ROI的水假體 CT 影像，下列何者之影像雜訊最大？

本題觀念：

CT影像的雜訊（Image Noise） 在電腦斷層（CT）的影像品保（QA）中，影像雜訊的評估通常會在均勻的水假體（Water Phantom）影像上，圈選一個感興趣區（Region of Interest, ROI），並計算該 ROI 內所有像素的 CT 值（以 Hounsfield Unit, HU 為單位）的標準差（Standard Deviation, SD）。標準差越大，代表像素數值的分散程度越大，即影像的雜訊越高。水假體的理想 CT 值為 0 HU，但在真實掃描情況下，CT 值會受雜訊影響而在 0 附近產生變動。

影像分析：

本題提供四個 3×3 畫素的 ROI 影像，陣列內的數值代表該像素的水假體 CT 值（HU）。

• 選項 A 圖片：第一列 [1, -1, 1]、第二列 [-1, 0, 1]、第三列 [-1, 1, -1]。
• 選項 B 圖片：第一列 [1, -1, 1]、第二列 [-1, 0, 1]、第三列 [-1, 2, -2]。
• 選項 C 圖片：第一列 [1, -1, 1]、第二列 [-3, 0, 3]、第三列 [-1, 1, -1]。
• 選項 D 圖片：第一列 [4, -1, 1]、第二列 [-1, 0, 1]、第三列 [-1, 1, -4]。

選項分析

我們須找出標準差最大的選項。因為四個選項均包含 9 個畫素（$N=9$），且所有選項內部像素值的總和皆為 0（即平均值 $\mu = 0$），我們可以藉由直接計算離差平方和 $\sum(x_i - \mu)^2$ 來客觀比較變異數與標準差的大小。

• 選項 A：
  • 數值：$1, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, -1$
  • 平方和：$1^2 \times 4 + (-1)^2 \times 4 + 0^2 = 4 + 4 + 0 = 8$
• 選項 B：
  • 數值：$1, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 2, -2$
  • 平方和：$1^2 \times 3 + (-1)^2 \times 3 + 2^2 + (-2)^2 + 0^2 = 3 + 3 + 4 + 4 + 0 = 14$
• 選項 C：
  • 數值：$1, -1, 1, -3, 0, 3, -1, 1, -1$
  • 平方和：$1^2 \times 3 + (-1)^2 \times 3 + 3^2 + (-3)^2 + 0^2 = 3 + 3 + 9 + 9 + 0 = 24$
• 選項 D：
  • 數值：$4, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, -4$
  • 平方和：$4^2 + (-4)^2 + 1^2 \times 3 + (-1)^2 \times 3 + 0^2 = 16 + 16 + 3 + 3 + 0 = 38$

答案解析

CT 影像中，均勻水假體的雜訊在客觀數據上定義為 ROI 內 CT 值的標準差。在平均值皆相同的條件下，離差平方和越大的 ROI 具有越高的標準差。根據上述的數值計算，選項 D 的離差平方和為 38，遠高於其他三個選項。這表示選項 D 的 CT 數值分布最為離散（極端值 $4$ 與 $-4$ 的存在大幅加大了變異程度），因此選項 D 的影像雜訊為最大。正確答案為 D。

核心知識點

1. 影像雜訊（Image Noise）的客觀定義：在均勻物質（如水假體）的影像評估中，以 ROI 內 CT 值的標準差（SD）來代表影像雜訊。
2. 標準差（SD）的統計意義：描述資料點偏離平均值的程度。考試中若遇到類似考題，快速的解題技巧是「尋找極端值」：若平均值相同，出現極端的高低數值差異（如本題選項 D 的 $4$ 與 $-4$）的矩陣，必定會急遽增加平方和與標準差，代表雜訊較大。
3. 假體品保測試（QA）：水假體的理論 CT 值應校正為 0 HU，但在系統背景雜訊（如量子雜訊、電子雜訊）影響下，測得的每個像素數值會以常態分布在 0 附近浮動。每日或定期的 QA 必須確認此平均偏移量與標準差是否落在設備的公差範圍內。

參考資料

1. Recommended Quality Assurance Programme for Computed Tomography(CT) Apparatus - Tasmanian Department of Health
2. 5.4 CT Number Accuracy and Noise - SPIE Digital Library