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114年:放射治療(2)

²²⁶Ra的半衰期為 1622年，請計算 1克²²⁶Ra的活度約為多少 Bq？

A1.6×10⁹
B1.6×10¹⁰
C3.6×10⁹
D3.6×10¹⁰

詳細解析

本題觀念：

本題測驗的核心概念為放射性活度（Activity, AA）的計算。活度定義為放射性核種在單位時間內發生自發性衰變的原子數量。其國際標準單位為貝克（Becquerel, Bq），定義為每秒發生 1 次衰變（1 dps, disintegrations per second）。

放射性活度的基本計算公式為： A=λ×NA = \lambda \times N

  • AA：活度（Activity，若要求得 Bq，計算時的時間單位必須為「秒」）
  • λ\lambda：衰變常數（Decay constant），代表每個原子核在單位時間內衰變的機率。與半衰期（T1/2T_{1/2}）的關係為 λ=ln⁡2T1/2≈0.693T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}
  • NN：放射性核種的原子總數量。可由樣本質量推算，公式為 N=mM×NAN = \frac{m}{M} \times N_A （mm：質量，MM：質量數，NAN_A：亞佛加厥常數 ≈6.02×1023 mol−1\approx 6.02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}）

選項分析

我們將題目所給的條件帶入上述公式進行逐步計算：

  1. 計算原子總數（NN）： 已知 226Ra^{226}\text{Ra} 的質量為 m=1 gm = 1 \text{ g}，質量數 M≈226 g/molM \approx 226 \text{ g/mol}。 N=(1 g226 g/mol)×(6.02×1023 atoms/mol)≈2.664×1021 個原子N = \left( \frac{1 \text{ g}}{226 \text{ g/mol}} \right) \times \left(6.02 \times 10^{23} \text{ atoms/mol}\right) \approx 2.664 \times 10^{21} \text{ 個原子}

  2. 計算衰變常數（λ\lambda）並統一時間單位： 因為最終要計算的單位是貝克（次/秒），必須將半衰期從「年」轉換為「秒」。 已知 T1/2=1622 年T_{1/2} = 1622 \text{ 年}。 T1/2=1622 years×365.25 days/year×24 hours/day×3600 seconds/hour≈5.118×1010 秒T_{1/2} = 1622 \text{ years} \times 365.25 \text{ days/year} \times 24 \text{ hours/day} \times 3600 \text{ seconds/hour} \approx 5.118 \times 10^{10} \text{ 秒} λ=ln⁡2T1/2=0.6935.118×1010 s≈1.354×10−11 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5.118 \times 10^{10} \text{ s}} \approx 1.354 \times 10^{-11} \text{ s}^{-1}

  3. 計算活度（AA）： A=λ×N=(1.354×10−11 s−1)×(2.664×1021)≈3.607×1010 dps (Bq)A = \lambda \times N = (1.354 \times 10^{-11} \text{ s}^{-1}) \times (2.664 \times 10^{21}) \approx 3.607 \times 10^{10} \text{ dps (Bq)}

計算結果約為 3.6×1010 Bq3.6 \times 10^{10} \text{ Bq}。

  • (A) 1.6×1091.6 \times 10^9：數值與數量級皆錯誤。
  • (B) 1.6×10101.6 \times 10^{10}：數值計算錯誤。
  • (C) 3.6×1093.6 \times 10^9：數量級錯誤（相差十倍）。
  • (D) 3.6×10103.6 \times 10^{10}：與計算結果吻合，為正確選項。

答案解析

正確答案為 (D)。 這是一題經典且帶有陷阱的計算題。在歷史上，「1 居禮（Curie, Ci）」最初的定義正是「1 克鐳-226 的活度」。早期科學家測量並推算出的活度大約為 3.7×1010 Bq3.7 \times 10^{10} \text{ Bq}，後來國際上為了方便，便將 1 Ci 以法規直接定義為精確的 3.7×1010 Bq3.7 \times 10^{10} \text{ Bq}。 然而，隨著現代物理測量技術的進步，226Ra^{226}\text{Ra} 的半衰期被更精準地修正（如本題給定的 1622 年）。若根據 1622 年重新進行精確計算，真正的活度值會落在約 3.6×1010 Bq3.6 \times 10^{10} \text{ Bq}。本題的考點即在於鑑別考生是否具備紮實的公式推導計算能力，而非僅僅死背 1 Ci=3.7×1010 Bq1 \text{ Ci} = 3.7 \times 10^{10} \text{ Bq} 的固定換算值。

核心知識點

考生在準備此類題型時，必須熟練掌握以下觀念：

  1. 活度計算基礎公式：A=λNA = \lambda N。
  2. 衰變常數與半衰期的關係：λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}。
  3. 質量的原子數換算：N=質量質量數×亞佛加厥常數N = \frac{\text{質量}}{\text{質量數}} \times 亞佛加厥常數。
  4. 單位換算的嚴謹性：只要題目詢問「貝克 (Bq)」，在帶入公式前，務必將所有的時間單位（如年、天、小時、分鐘）轉換為秒 (seconds)。
  5. 居禮（Ci）的歷史意義：理解 1 Ci 與 1 克 226Ra^{226}\text{Ra} 的淵源，但面對有給定具體半衰期的題目時，需以實際計算結果為準。

臨床重要性

鐳-226 過去在放射治療（尤其是近接治療 Brachytherapy，如子宮頸癌的腔內治療）中被廣泛使用。了解其活度的計算與單位的歷史沿革，有助於醫事放射師理解現代輻射度量單位的發展。現今臨床雖已用銫-137（137Cs^{137}\text{Cs}）、銥-192（192Ir^{192}\text{Ir}）等核種取代鐳-226，但活度公式的精確計算能力，依舊是放射師在進行射源接收、衰變校正與劑量評估時保障病患安全不可或缺的核心專業。

參考資料

  1. What is the activity of one gm of Ra266 whose half life time =1622 years? - Quora. (https://www.quora.com/What-is-the-activity-of-one-gm-of-Ra266-whose-half-life-time-1622-years)
  2. What is the activity of 1g of radioactivity of 226 with a half life of 1600 years? - Quora. (https://www.quora.com/What-is-the-activity-of-1g-of-radioactivity-of-226-with-a-half-life-of-1600-years)
  3. The Environmental Behaviour of Radium - IAEA. (https://www-pub.iaea.org/MTCD/Publications/PDF/TRS310_Web.pdf)
  4. Radioactive Properties of Rocks (Chapter 12) - Fundamentals of Rock Physics. (https://www.cambridge.org/core/books/abs/fundamentals-of-rock-physics/radioactive-properties-of-rocks/0C8F6E0A6F4C0D4B2B6E6A2C2C2B2C2C)
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