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114年:核醫診療(2)

如有5,000 Bq 的³⁵S均勻分布於質量為 25克的睪丸中，已知³⁵S衰變時β粒子的最大能量為167 keV且平均能量為48.7 keV ，³⁵S的物理半衰期為 87.51天，³⁵S於睪丸的生物半衰期為 623天，試問睪丸的劑量負擔（dose commitment ）為多少 Gy?

A1.25×10⁻²
B1.50×10⁻²
C1.75×10⁻²
D2.00×10⁻²

詳細解析

這是一道關於內部輻射劑量學 (Internal Dosimetry) 的經典計算題，主要評量對於「有效半衰期」以及「劑量負擔 (Dose commitment)」的理解與計算能力。本題的數據與情境改編自保健物理學經典教科書《Introduction to Health Physics》（作者：Herman Cember）中的範例。

本題觀念：

  1. 有效半衰期 (Effective half-life, TeffT_{eff})：當放射性核種進入人體後，其活度減少會同時受到「物理衰變」與「生物排泄」兩種機制的影響。必須將物理半衰期 (TpT_p) 與生物半衰期 (TbT_b) 結合，求出有效半衰期。
  2. 劑量負擔 (Dose commitment)：指人體器官攝入放射性核種後，從攝入當下到該核種完全衰變或排出體外為止，該器官所吸收的「總輻射劑量」。在數學上，即為初始劑量率 (D0D_0) 對時間從 00 積分至 ∞\infty。
  3. β\beta 衰變的能量計算：β\beta 粒子的能量為連續能譜，衰變過程中的部分能量會被反微中子帶走（不與組織作用）。因此，計算組織實際吸收劑量時，必須使用「平均能量 (EavgE_{avg})」，題目給定的最大能量 (167 keV167\text{ keV}) 僅為干擾資訊。

選項分析與計算過程

第一步：計算有效半衰期 (TeffT_{eff}) 與有效衰變常數 (λeff\lambda_{eff}) 公式為：1Teff=1Tp+1Tb\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b}

  • Tp=87.51T_p = 87.51 天
  • Tb=623T_b = 623 天

代入公式計算： Teff=87.51×62387.51+623=54518.73710.51≈76.73 天T_{eff} = \frac{87.51 \times 623}{87.51 + 623} = \frac{54518.73}{710.51} \approx 76.73 \text{ 天}

接著求有效衰變常數 λeff\lambda_{eff}（單位轉換為 day−1\text{day}^{-1}）： λeff=ln⁡(2)Teff=0.69376.73≈0.00903 day−1\lambda_{eff} = \frac{\ln(2)}{T_{eff}} = \frac{0.693}{76.73} \approx 0.00903 \text{ day}^{-1} (註：在 Cember 的教科書範例中，常將此常數簡化進位為 0.009 day−10.009 \text{ day}^{-1})

第二步：計算初始劑量率 (D0D_0) 公式為：D0=A0×EavgmD_0 = \frac{A_0 \times E_{avg}}{m}

  • 初始活度 A0=5,000 BqA_0 = 5,000 \text{ Bq}（即每秒 5,0005,000 次衰變）
  • 睪丸質量 m=25 g=0.025 kgm = 25 \text{ g} = 0.025 \text{ kg}
  • 每次衰變平均釋放能量 Eavg=48.7 keV=48.7×103 eVE_{avg} = 48.7 \text{ keV} = 48.7 \times 10^3 \text{ eV}
  • 能量單位轉換：1 eV=1.602×10−19 J1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}

先算出每秒的總吸收能量 (J/s，即 W)： Etotal_per_sec=5000×48.7×103×1.602×10−19≈3.90×10−11 J/sE_{total\_per\_sec} = 5000 \times 48.7 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19} \approx 3.90 \times 10^{-11} \text{ J/s}

計算每秒的初始劑量率 (Gy/s\text{Gy/s})，其中 1 Gy=1 J/kg1 \text{ Gy} = 1 \text{ J/kg}： D0(Gy/s)=3.90×10−110.025≈1.56×10−9 Gy/sD_{0(\text{Gy/s})} = \frac{3.90 \times 10^{-11}}{0.025} \approx 1.56 \times 10^{-9} \text{ Gy/s}

將單位轉換為每天的劑量率 (Gy/day\text{Gy/day})，一天有 86,40086,400 秒： D0(Gy/day)=1.56×10−9×86400≈1.348×10−4 Gy/dayD_{0(\text{Gy/day})} = 1.56 \times 10^{-9} \times 86400 \approx 1.348 \times 10^{-4} \text{ Gy/day}

第三步：計算總劑量負擔 (DD) 總劑量為初始劑量率隨時間指數衰減的積分，公式為：D=D0λeffD = \frac{D_0}{\lambda_{eff}}

將上述數值代入： D=1.348×10−4 Gy/day0.00903 day−1≈0.01493 Gy=1.493×10−2 GyD = \frac{1.348 \times 10^{-4} \text{ Gy/day}}{0.00903 \text{ day}^{-1}} \approx 0.01493 \text{ Gy} = 1.493 \times 10^{-2} \text{ Gy}

若採用原文書簡化的 λeff=0.009 day−1\lambda_{eff} = 0.009 \text{ day}^{-1} 來計算： D=1.348×10−40.009≈0.01498 Gy≈1.50×10−2 GyD = \frac{1.348 \times 10^{-4}}{0.009} \approx 0.01498 \text{ Gy} \approx 1.50 \times 10^{-2} \text{ Gy}

計算結果最接近選項 (B) 的 1.50×10−21.50 \times 10^{-2} Gy。

答案解析

綜合上述完整的物理推導與計算，35S 衰變造成的睪丸總劑量負擔約為 1.50×10−2 Gy1.50 \times 10^{-2}\text{ Gy}。

  • (A) 數值過低。
  • (B) 與計算結果完全吻合，為正確答案。
  • (C) 數值過高。
  • (D) 數值過高。

核心知識點

考生在準備這類內部劑量計算題時，需熟記以下核心原則與公式：

  1. 有效半衰期公式：Teff=Tp⋅TbTp+TbT_{eff} = \frac{T_p \cdot T_b}{T_p + T_b}。務必確認所有半衰期的時間單位一致。
  2. 劑量率公式：D=A⋅EmD = \frac{A \cdot E}{m}。必須熟練將活度 (Bq=s−1\text{Bq} = \text{s}^{-1})、能量 (keV\text{keV} 轉 J\text{J}) 以及質量 (g\text{g} 轉 kg\text{kg}) 換算至標準 SI 單位以求得 Gray (J/kg\text{J/kg})。
  3. β\beta 射線特性：因為存在反微中子 (antineutrino) 分享能量的物理機制，β\beta 粒子的射線具有連續能譜。計算組織吸收劑量（Dosimetry）時，絕對要使用「平均能量」而不是最大能量。一般情況下，β\beta 粒子的平均能量大約是最大能量的 1/31/3。
  4. 劑量負擔 (Dose commitment)：等於初始劑量率除以有效衰變常數 (D0λeff\frac{D_0}{\lambda_{eff}})。

參考資料

  1. Cember, H., & Johnson, T. E. (2008). Introduction to Health Physics (4th ed.). McGraw-Hill Education. (本題出自該書之 Chapter 6: Radiation Dosimetry, Example 6.14)
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