某同位素的活度，每天衰減掉2%，則此同位素的半衰期約為下列何者？

本題觀念：

本題測驗放射性衰變的基本數學運算，重點在於評估考生對於「活度 (Activity)」、「衰變常數 (Decay constant, $\lambda$)」以及「半衰期 (Half-life, $T_{1/2}$)」之間相互關係的理解。放射性同位素的衰變遵循一階動力學 (First-order kinetics)，其數量或活度隨時間呈指數衰減。

選項分析

• (A) 2.7分鐘：錯誤。若每天衰減 2%，代表衰變過程相對緩慢。2.7 分鐘的半衰期代表活度在極短時間內就會減半，與「每天僅減少 2%」的條件明顯矛盾。
• (B) 34天：正確。假設初始活度為 $A_0$。
  1. 根據題意，每天衰減 2%，代表經過 1 天後，剩下的活度為原來的 98% (0.98)。
  2. 套用放射性衰變公式：$A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$
  3. $0.98 A_0 = A_0 \cdot e^{-\lambda \times 1 \text{ (天)}}$，即 $e^{-\lambda} = 0.98$。
  4. 兩邊取自然對數，$-\lambda = \ln(0.98) \approx -0.0202$。因此衰變常數 $\lambda \approx 0.0202 \text{ day}^{-1}$。

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