在測量放射樣本計數（counts）時，至少需要測量多少計數，才能達到99%標準差信賴區間，且真實計數值（true value）是在測量值（measured value）的1%內？

本題觀念：

本題考查的是核子醫學與放射測量中極為核心的「計數統計學（Counting Statistics）」。 放射性核種的衰變在統計學上遵循卜瓦松分布（Poisson distribution）。當測量到的計數值（counts，$N$）較大時，卜瓦松分布可近似為常態分布（Normal distribution）。此時，測量結果的標準差（Standard deviation, $\sigma$）約等於計數值的平方根，即 $\sigma = \sqrt{N}$。

根據常態分布的統計特性，不同的標準差倍數（$Z$ 值）會對應不同的信賴區間（Confidence Interval, CI）：

• $\pm 1\sigma$ 的信賴區間約為 68.3%
• $\pm 2\sigma$ 的信賴區間約為 95.4%
• $\pm 3\sigma$ 的信賴區間約為 99.73%

在放射物理與核醫學的傳統教學或考題中，經常將 $3\sigma$（99.73%）簡化描述為「99% 信賴區間」。

選項分析

題目要求「真實計數值是在測量值的 1% 內」，這代表容許的誤差量（Error, $E$）為 $1\% \times N = 0.01N$。 假設我們需要 $Z$ 個標準差的寬度來達到特定的信賴區間，其數學關係式為：

$$$$

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