有相同初始速度的二個重離子（heavy ions）射束，在水中的射程（range）與電荷量的關係為何？

本題觀念：

本題探討重帶電粒子（Heavy charged particles，如質子、碳離子等）在介質（如水）中行進時，其射程（Range）與粒子本身的物理性質（如初始速度、電荷量、質量）之間的數學關係。這需要透過游離輻射物理學中的「貝特-布洛赫公式（Bethe-Bloch formula）」與「阻擋本領（Stopping power）」來推導。

選項分析

根據 Bethe-Bloch formula，重帶電粒子在介質中的碰撞阻擋本領（Collision stopping power，$S = -dE/dx$，即單位路徑上的能量損耗）與粒子電荷量（$z$）的平方成正比，並與粒子速度（$v$）的平方成反比（忽略相對論修正項與對數項的微小變化）： $S \propto \frac{z^2}{v^2}$

射程（Range, $R$）為粒子能量消耗殆盡所行走的總距離，可表示為阻擋本領倒數對能量的積分： $R = \int_{0}^{E_0} \frac{1}{S} dE$

因為粒子的動能為 $E = \frac{1}{2}Mv^2$（$M$ 為粒子質量），故微分後可得 $dE = Mv \cdot dv$。 將 $S$ 與 $dE$ 代入射程的積分式中，可得出： $R \propto \int_{0}^{v_0} \frac{v^2}{z^2} (Mv) dv =

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