核子醫學接收一顆 ⁹⁹Mo-⁹⁹ᵐTc 射源孳生器（檢定日為週三 12:00，500 mCi），於週一上午 8:30 抽取 ⁹⁹ᵐTc-TcO₄⁻ 約 780 mCi，要抽取最大活度的 ⁹⁹ᵐTc-TcO₄⁻ 須再間隔多少小時？（⁹⁹Mo 半衰期為 66 小時，⁹⁹ᵐTc 半衰期為 6 小時）

本題觀念：

本題探討核子醫學中 $^{99}$Mo-$^{99m}$Tc 發生器（Generator）的放射性蛻變動力學，核心觀念為「暫態平衡」（Transient Equilibrium）。

當母核種（$^{99}$Mo，半衰期約 66 小時）的半衰期大於子核種（$^{99m}$Tc，半衰期約 6 小時），且兩者相差並非極端巨大（通常介於 10 到 100 倍之間）時，兩者會建立暫態平衡。在臨床操作中，當我們利用生理食鹽水將發生器內的 $^{99m}$Tc 洗滌（elution，即題目所稱之抽取）出來後，發生器內部 $^{99m}$Tc 的活度會瞬間降至趨近於零。隨後，$^{99m}$Tc 會因母核種的持續衰變而重新累積，並在特定時間點達到最大活度，此時間點定義為 $t_{max}$。

選項分析

在任何一次完全洗滌後，子核種重新生長至最大活度所需的時間 $t_{max}$，可由 Bateman 方程式的導數推導而來。其發生條件為子核種的生成率等於衰變率，公式如下： $t_{max} = \frac{\ln(\lambda_{Tc} / \lambda_{Mo})}{\lambda_{Tc} - \lambda_{Mo}}$

其中 $\lambda$ 為衰變常數（$\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$）。將公式改寫為以半衰期計算並代入數值： $

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