一+5.00 D透鏡位於-2.00 D透鏡前15公分處，若有一個實物體（real object ）位於+5.00 D透鏡前40公分處，其影像位在第二片透鏡（-2.00 D）後幾公分？

本題觀念：

本題考查雙透鏡系統的成像計算（two-lens system imaging）。解題關鍵是「逐步折射法（step-along vergence method）」：第一片透鏡的像成為第二片透鏡的（虛）物，依序套用薄透鏡公式 $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = F$（或以入射/出射vergence表達），最終求得第二片透鏡後的像距。

選項分析

本題為計算題，無需逐一評對錯；以下呈現完整演算步驟，最後對應各選項。

第一步：處理 L₁（+5.00 D 透鏡）

實物位於 L₁ 前 40 cm，即物距 $u_1 = -0.40\text{ m}$（實物取負號，光從左向右入射）。

入射 vergence： $V_{in1} = \frac{n}{u_1} = \frac{1}{-0.40} = -2.50\text{ D}$

出射 vergence（薄透鏡加光焦度）： $V_{out1} = V_{in1} + F_1 = -2.50 + 5.00 = +2.50\text{ D}$

L₁ 後方像距： $v_1 = \frac{1}{V_{out1}} = \frac{1}{2.50} = 0.40\text{ m} = 40\text{ cm（L₁右側）}$

第二步：求 L₂ 的物距

L₂ 位於 L₁ 右側 15 cm 處。L₁ 所成的像在 L₁ 右側 40 cm，即在 L₂ 右側 $40 - 15 = 25$ cm 處。

此像對 L₂ 而言為虛物（virtual object），入射 vergence 為正（光線仍為會聚光）： $V_{in2} = \frac{1}{+0.25} = +4.00\text{ D}$

第三步：處理 L₂（−2.00 D 透鏡）

$V_{out2} = V_{in2} + F_2 = +4.00 + (-2.00) = +2.00\text{ D}$

L₂ 後方像距： $v_2 = \frac{1}{V_{out2}} = \frac{1}{2.00} = 0.50\text{ m} = \boxed{50\text{ cm}}$

選項對應： (A) 26.17 — 對應錯誤計算（如未正確處理虛物），不正確。

(B) 40 — 對應L₁單獨成像結果，未考慮L₂，不正確。

(C) 50 — 依上述步驟正確計算所得，為正確答案。

(D) 200 — 對應計算錯誤（如遺漏虛物符號或混用公分/公尺），不正確。

答案解析

正確答案為 (C) 50 公分。

解題的核心在於正確識別 L₂ 的物：L₁ 的成像在 L₂ 右側，代表對 L₂ 而言是虛物（會聚光束尚未成像便被 L₂ 截取），其入射 vergence 為 $+4.00\text{ D}$（正值）。加上 L₂ 的光焦度 $-2.00\text{ D}$，出射 vergence 為 $+2.00\text{ D}$，換算像距即 50 cm。

若誤將虛物當成「物在 L₂ 前 25 cm」算成 $V_{in2} = -4.00\text{ D}$，則 $V_{out2} = -4.00 + (-2.00) = -6.00\text{ D}$，$v_2 ≈ -16.7\text{ cm}$，均與選項不符，因此符號判斷至關重要。

核心知識點

1. 逐步折射法（vergence step-along）：多透鏡系統逐一計算，前透鏡的像作為後透鏡的物。
2. 虛物（virtual object）：當前一光學元件的成像落在下一元件的另一側（已超過下一元件的位置），對下一元件為虛物，入射 vergence 為正。
3. 符號規則：以 vergence 計算時，實物 → 負入射 vergence；虛物（會聚束）→ 正入射 vergence。
4. 計算步驟整理：
   • $V_{in1} = 1/(-0.40) = -2.50$ D
   • $V_{out1} = -2.50 + 5.00 = +2.50$ D → $v_1 = +40$ cm
   • 虛物距 L₂：$40 - 15 = +25$ cm → $V_{in2} = +4.00$ D
   • $V_{out2} = +4.00 - 2.00 = +2.00$ D → $v_2 = 50$ cm

參考資料

1. Vergence: The Vergence Formula Basic Optics – AAO
2. Chapter 4: Multiple Lenses and Surfaces – basic-optics.netlify.app
3. Thin Lens Equation – HyperPhysics