這兩個柱狀鏡緊密疊加後，在透鏡組合前方1公尺放置一個點狀物體，最近跟最遠的成像線是分別距離透鏡組合為何？

本題觀念：

本題考「史特姆錐體(Conoid of Sturm)」中兩條焦線的成像位置計算。兩個柱狀鏡緊密疊加後，形成一個球柱鏡系統；針對物體在透鏡前方1公尺處，需分別對兩個主子午面計算聚散度，求出兩條焦線各自的像距。

背景說明（第22–24題共用情境）：兩個柱狀鏡分別為 +3.00DC×180 與 +6.00DC×090。疊加後的度數請見第24題（+6.00DS/−3.00DC×090），其功率十字(power cross)為：子午面090（垂直）= +3.00D；子午面180（水平）= +6.00D。

選項分析

計算過程

物體在透鏡前方1公尺，入射聚散度(incident vergence)： $L = -\frac{1}{1\,\text{m}} = -1.00\,\text{D}$

子午面090方向（度數 = +3.00D）——產生焦線1（平行於垂直方向）： $L' = L + F = -1.00 + 3.00 = +2.00\,\text{D}$ $\text{像距} = \frac{1}{2.00} = 0.50\,\text{m} = 50\,\text{公分}$

子午面180方向（度數 = +6.00D）——產生焦線2（平行於水平方向）： $L' = L + F = -1.00 + 6.00 = +5.00\,\text{D}$ $\text{像距} = \frac{1}{5.00} = 0.20\,\text{m} = 20\,\text{公分}$

因此：最近焦線 = 20公分（子午面180），最遠焦線 = 50公分（子午面090）。

(A) 最近14公分；最遠25公分 計算不符。14公分對應 $L'=+7.14\,\text{D}$，25公分對應 $+4.00\,\text{D}$，均非本題兩個主子午面的度數組合。❌

(B) 最近200公分；最遠500公分 此為較弱聚散度（接近平行光）條件才可能的值，本題入射為 −1.00D，不符。❌

(C) 最近17公分；最遠33公分 不符計算結果。❌

(D) 最近20公分；最遠50公分 符合上述計算：子午面180（+6.00D）成像於20公分，子午面090（+3.00D）成像於50公分。✅

答案解析

正確答案為 (D)。

柱狀鏡系統在兩個主子午面上具有不同的折射力，分別將光束聚焦在不同距離，形成史特姆錐體(Conoid of Sturm)中的兩條焦線。

• 功率較大的子午面（+6.00D）將入射聚散度 −1.00D 轉換為出射聚散度 +5.00D，焦線位於透鏡後方 $\frac{1}{5} = 0.20\,\text{m}$（20公分）。
• 功率較小的子午面（+3.00D）轉換為出射聚散度 +2.00D，焦線位於 $\frac{1}{2} = 0.50\,\text{m}$（50公分）。

兩條焦線之間的距離（50−20 = 30公分）即為「史特姆間距(interval of Sturm)」，最小模糊圈位於此區間的屈光中點（見第23題）。

核心知識點

1. 柱狀鏡的主子午面分析：柱狀鏡沿軸向無屈光力，垂直於軸的子午面才有屈光力。兩個柱狀鏡疊加後，各子午面度數分別相加。
2. 聚散度公式：$L' = L + F$，其中 $L = n/l$（n為折射率，空氣中n=1，l為物距，正方向為光行進方向，物在透鏡前故為負值）。
3. 史特姆錐體：非球面（散光）系統中，光不會聚焦在單一焦點，而是形成兩條相互垂直的焦線，中間包夾最小模糊圈。
4. 焦線方向：子午面090（垂直）的焦線平行於垂直軸；子午面180（水平）的焦線平行於水平軸。

參考資料

1. The Conoid of Sturm - StatPearls - NCBI Bookshelf
2. Vergence: The Vergence Formula Basic Optics, Chapter 3 - AAO
3. Astigmatic Refractive Error: The Conoid of Sturm Basic Optics, Chapter 11 - AAO