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114年:視覺光學

陳先生右眼所需眼鏡的兩個稜鏡量分別為，2.83Δ基底在135度和5.00Δ基底37度，組合他的兩個稜鏡量為一，則最終稜鏡處方下列何者正確？（sin45=0.707; sin37=0.6; 5=2.236; 29=5.385; 37=6.083; 61=7.810）

A2.2Δ
B5.4Δ
C6.1Δ
D7.8Δ

詳細解析

本題觀念：

本題考稜鏡量的向量合成(prism compounding)。將兩個斜向稜鏡處方合併為單一稜鏡，需先將各稜鏡分解為水平（X軸）和垂直（Y軸）分量，再用畢氏定理(Pythagorean theorem)求合力大小。

題目提供的輔助數值：sin⁡45°=0.707\sin 45° = 0.707、sin⁡37°=0.6\sin 37° = 0.6、cos⁡37°=0.8\cos 37° = 0.8（由 cos⁡37°=1−sin⁡237°=0.8\cos 37° = \sqrt{1-\sin^2 37°} = 0.8 推導）；5=2.236\sqrt{5} = 2.236、29=5.385\sqrt{29} = 5.385、37=6.083\sqrt{37} = 6.083、61=7.810\sqrt{61} = 7.810。

選項分析

計算過程（向量分解）

稜鏡1：2.83Δ，基底在135° P1x=2.83×cos⁡135°=2.83×(−0.707)=−2.00 ΔP_{1x} = 2.83 \times \cos 135° = 2.83 \times (-0.707) = -2.00\,\Delta P1y=2.83×sin⁡135°=2.83×(+0.707)=+2.00 ΔP_{1y} = 2.83 \times \sin 135° = 2.83 \times (+0.707) = +2.00\,\Delta

（注意：2.83≈222.83 \approx 2\sqrt{2}，故 2.83×0.707≈2.002.83 \times 0.707 \approx 2.00，計算整齊）

稜鏡2：5.00Δ，基底在37° P2x=5.00×cos⁡37°=5.00×0.8=+4.00 ΔP_{2x} = 5.00 \times \cos 37° = 5.00 \times 0.8 = +4.00\,\Delta P2y=5.00×sin⁡37°=5.00×0.6=+3.00 ΔP_{2y} = 5.00 \times \sin 37° = 5.00 \times 0.6 = +3.00\,\Delta

合力分量： Ptotal,x=P1x+P2x=−2.00+4.00=+2.00 ΔP_{\text{total},x} = P_{1x} + P_{2x} = -2.00 + 4.00 = +2.00\,\Delta Ptotal,y=P1y+P2y=+2.00+3.00=+5.00 ΔP_{\text{total},y} = P_{1y} + P_{2y} = +2.00 + 3.00 = +5.00\,\Delta

合力大小（畢氏定理）： Ptotal=Px2+Py2=2.002+5.002=4+25=29≈5.385 ΔP_{\text{total}} = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{2.00^2 + 5.00^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5.385\,\Delta

題目提示 29=5.385\sqrt{29} = 5.385，四捨五入為 5.4Δ。

(A) 2.2Δ → 對應 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236；若分量為(1,2)或(2,1)才有此結果，與本題計算不符。❌

(B) 5.4Δ → 對應 29=5.385\sqrt{29} = 5.385，與計算一致。✅

(C) 6.1Δ → 對應 37=6.083\sqrt{37} = 6.083；若分量為(1,6)或(6,1)才有此結果，不符。❌

(D) 7.8Δ → 對應 61=7.810\sqrt{61} = 7.810；若分量為(5,6)才有此結果，不符。❌

答案解析

正確答案為 (B) 5.4Δ。

步驟整理：

  1. 分解各稜鏡為水平/垂直分量（使用極坐標→直角坐標轉換）：

    • 2.83Δ @135°：X = −2.00Δ，Y = +2.00Δ
    • 5.00Δ @37°：X = +4.00Δ，Y = +3.00Δ

  2. 合計各方向分量：

    • 合計X = −2.00 + 4.00 = +2.00Δ
    • 合計Y = +2.00 + 3.00 = +5.00Δ

  3. 求合力大小： P=22+52=29≈5.4 ΔP = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \approx \mathbf{5.4\,\Delta}

  4. 合力方向（題目未問，但補充）： θ=arctan⁡(5.002.00)=arctan⁡(2.5)≈68°\theta = \arctan\left(\frac{5.00}{2.00}\right) = \arctan(2.5) \approx 68°

題目給出的輔助數值（5\sqrt{5}、29\sqrt{29}、37\sqrt{37}、61\sqrt{61}）是設計來對應不同可能計算結果的「誘答陷阱」，考生需確認分量計算無誤才能選出 29\sqrt{29}。

核心知識點

  1. 稜鏡向量合成步驟：

    • 極坐標（大小Δ + 角度°）→ 直角坐標（X = P·cosθ，Y = P·sinθ）
    • 各方向分量相加
    • 畢氏定理求合力：P合=X合2+Y合2P_{\text{合}} = \sqrt{X_{\text{合}}^2 + Y_{\text{合}}^2}

  2. 角度的物理意義：稜鏡基底方向角度（360°系統）以水平右方為0°，逆時針為正。135°為左上方，37°為右上方偏下。

  3. 臨床意義：斜向稜鏡處方常見於斜視矯正（如旋轉性斜視、V-pattern exotropia等），將兩個正交稜鏡（base-in/out + base-up/down）合成為單一斜向稜鏡，可減少鏡片重量與厚度。

  4. 特殊角度記憶：sin⁡37°≈0.6\sin 37° \approx 0.6、cos⁡37°≈0.8\cos 37° \approx 0.8（3-4-5直角三角形）；sin⁡45°=cos⁡45°≈0.707\sin 45° = \cos 45° \approx 0.707（等腰直角三角形）——國考常用值。

參考資料

  1. Compounding and resolving prism - OptomInSight
  2. Vector addition of prism powers - AAO
  3. The Spectrum of Prism Optics – Part 1 - ASBO
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