在鏡片表面鍍一層氟化鎂（n=1.38）作為抗反射膜，提高光的波長500 nm的穿透率，求抗反射膜的厚度須為多少？

本題觀念：

四分之一波長（quarter-wave）抗反射膜的厚度計算公式，以氟化鎂（magnesium fluoride, $\text{MgF}_2$，折射率 n = 1.38）為例。

選項分析

四分之一波長抗反射膜的設計條件：

$n_{\text{coating}} \times d = \frac{\lambda}{4}$

其中：

• $n_{\text{coating}}$ = 鍍膜折射率 = 1.38（$\text{MgF}_2$）
• $d$ = 物理厚度（所求）
• $\lambda$ = 目標波長 = 500 nm

代入計算：

$d = \frac{\lambda}{4 \times n_{\text{coating}}} = \frac{500 \text{ nm}}{4 \times 1.38} = \frac{500}{5.52} \approx 90.6 \text{ nm} \approx 90 \text{ nm}$

(A) 90 nm — 計算結果約 90.6 nm，四捨五入為 90 nm，正確。✅

(B) 100 nm — 代入計算：$4 \times 1.38 \times 100 = 552 \text{ nm}$，對應波長 552 nm，非 500 nm。❌

(C) 125 nm — 代入計算：$4 \times 1.38 \times 125 = 690 \text{ nm}$，對應波長 690 nm（紅光區），非 500 nm。❌

(D) 500 nm — 此數值為波長本身，直接作為厚度忽略了折射率修正。若 $d = 500$ nm，則光學厚度 = $1.38 \times 500 = 690$ nm，完全不符。❌

答案解析

抗反射膜利用薄膜破壞性干涉原理減少反射：從膜前表面反射的光（phase shift = 180°，因從低折射率介質進入高折射率介質）與從膜後表面反射的光（在膜中往返一次的光程差 = $2nd$）達到破壞性干涉，條件為：

$2 n_{\text{coating}} \times d = \frac{\lambda}{2}$

$\Rightarrow n_{\text{coating}} \times d = \frac{\lambda}{4}$

$\Rightarrow d = \frac{\lambda}{4 n_{\text{coating}}} = \frac{500}{4 \times 1.38} = \frac{500}{5.52} \approx 90.6 \text{ nm}$

為什麼選 $\text{MgF}_2$（n = 1.38）作抗反射膜？ 理想單層抗反射膜的折射率應為：

$n_{\text{coating}} = \sqrt{n_{\text{air}} \times n_{\text{glass}}} = \sqrt{1.0 \times 1.52} \approx 1.23$

$\text{MgF}_2$（n = 1.38）雖非理想值，但化學性質穩定、附著力強、折射率接近，為實際光學鍍膜中最廣泛使用的單層抗反射材料。

核心知識點

• 四分之一波長抗反射膜公式：$d = \dfrac{\lambda}{4n}$
• $\text{MgF}_2$ 是最常見的光學單層抗反射膜材料（n = 1.38，化學穩定）
• 膜的設計波長通常選 500–550 nm（人眼最敏感的綠光範圍）
• 光學厚度（optical thickness）= 物理厚度（d）× 折射率（n）= $\lambda/4$
• 計算時切記：代入的是膜的折射率，而非玻璃的折射率

參考資料

1. Anti-reflective coating - Wikipedia
2. Quora: MgF2 non-reflective coating for 500 nm light calculation
3. Anti-Reflection Coatings - Edmund Optics