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114年:眼光概要

有一點光源在+20.00 D 鏡片前方5 cm處入射經過10 cm距離後遇到另一屈光度數為-2.00 D的鏡片，則最後成像位置位於何處？

A+20.00 D 鏡片前方40 cm處
B+20.00 D 鏡片前方50 cm處
C-2.00 D鏡片後方40 cm處
D-2.00 D鏡片前方40 cm處

詳細解析

本題觀念：

本題考核多鏡片系統的逐步驗度法（step-along vergence method）。光線通過第一片鏡片後，以其成像位置作為第二片鏡片的物距，再次套用薄鏡片公式，逐步求得最終成像位置。

選項分析

(A) +20.00 D 鏡片前方 40 cm 處 — 正確（詳見答案解析）。最終成像為虛像，位於第二片鏡片左側 50 cm，換算後距第一片鏡片前方 40 cm。

(B) +20.00 D 鏡片前方 50 cm 處 — 錯誤。忽略了兩片鏡片之間 10 cm 的間距，未正確換算到第一片鏡片的參考位置。

(C) -2.00 D 鏡片後方 40 cm 處 — 錯誤。-2.00 D 鏡片的出射光線為發散光，成像為虛像，位於鏡片左方（入射側），而非右方。

(D) -2.00 D 鏡片前方 40 cm 處 — 錯誤。計算所得虛像在第二片鏡片左方 50 cm，而非 40 cm。

答案解析

使用逐步驗度法（step-along method），以公式 L′=L+FL' = L + F（其中 LL 為入射驗度、FF 為鏡片度數、L′L' 為出射驗度）：

第一步：通過 +20.00 D 鏡片

物體在鏡片前方 5 cm = 0.05 m，入射驗度為： L1=nu=1−0.05=−20.00 DL_1 = \frac{n}{u} = \frac{1}{-0.05} = -20.00 \text{ D}

出射驗度： L1′=L1+F1=−20.00+20.00=0.00 DL_1' = L_1 + F_1 = -20.00 + 20.00 = 0.00 \text{ D}

出射驗度為 0 D，代表光線以平行光（parallel rays）射出，成像於無限遠處。

第二步：光線傳播 10 cm 至 -2.00 D 鏡片

平行光（L1′=0L_1' = 0 D）傳播任何距離後仍為平行光，因此進入第二片鏡片的入射驗度： L2=0.00 DL_2 = 0.00 \text{ D}

第三步：通過 -2.00 D 鏡片

出射驗度： L2′=L2+F2=0.00+(−2.00)=−2.00 DL_2' = L_2 + F_2 = 0.00 + (-2.00) = -2.00 \text{ D}

出射驗度為 -2.00 D（發散光），成像位於第二片鏡片的入射側（虛像）： v2=1L2′=1−2.00=−0.50 m=−50 cmv_2 = \frac{1}{L_2'} = \frac{1}{-2.00} = -0.50 \text{ m} = -50 \text{ cm}

負號表示虛像在第二片鏡片左方（入射側）50 cm 處。

第四步：換算至 +20.00 D 鏡片的參考位置

第二片鏡片在第一片鏡片右方 10 cm。虛像在第二片鏡片左方 50 cm，即： 距第一片鏡片=50−10=40 cm（位於第一片鏡片左方）\text{距第一片鏡片} = 50 - 10 = 40 \text{ cm（位於第一片鏡片左方）}

因此最終成像位置為 +20.00 D 鏡片前方（入射側）40 cm 處。

核心知識點

  • 逐步驗度法步驟：①計算第一片鏡片的出射驗度 → ②驗度修正（光線傳播距離）→ ③計算第二片鏡片的出射驗度 → ④求成像距離
  • 平行光傳播：若出射驗度為 0，光線以平行光前進，傳播後入射驗度仍為 0
  • 虛像判斷：出射驗度為負值 → 發散光 → 虛像在鏡片入射側
  • 距離換算：最終成像位置需換算回同一參考點（本題換算至第一片鏡片）
  • 本題特殊性：物體恰好在 +20D 鏡片的前焦點（5 cm = 1/20 D），使光線出射為平行光，大幅簡化後續計算

參考資料

  1. Vergence: The Vergence Formula - AAO Basic Optics Chapter 3
  2. Chapter 4: Multiple Lenses and Surfaces - Basic Optics
  3. Vergence in Optics - HyperPhysics
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