在空氣中焦距為10 cm且折射率為1.5的鏡片置放在折射率為1.33的水中，其焦距變為多少？

本題觀念：

本題考核鏡片置入不同介質時焦距的變化，需應用廣義磨鏡師公式（generalized lensmaker's equation），計算鏡片從空氣移至水中後焦距的改變量。

選項分析

(A) 34.2 cm — 錯誤。計算過程中可能使用了錯誤的折射率比值。

(B) 39.1 cm — 正確（詳見答案解析）。

(C) 45.2 cm — 錯誤。

(D) 67.8 cm — 錯誤。可能混淆了折射率比值的計算方式。

答案解析

廣義磨鏡師公式（Generalized Lensmaker's Equation）：

在介質 $n_0$ 中，折射率為 $n_l$ 的薄鏡片，其度數為： $P = \frac{n_l - n_0}{n_0} \cdot \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

其中 $\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = K$ 為鏡片曲率常數（由鏡片形狀決定，置入介質後不變）。

已知條件：

• 鏡片折射率：$n_l = 1.5$
• 空氣折射率：$n_{air} = 1.0$
• 水的折射率：$n_w = 1.33$
• 在空氣中焦距：$f_{air} = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}$

第一步：在空氣中的度數 $P_{air} = \frac{n_l - n_{air}}{n_{air}} \cdot K = \frac{1.5 - 1.0}{1.0} \cdot K = 0.5K$ $P_{air} = \frac{1}{f_{air}} = \frac{1}{0.10} = 10 \text{ D}$ $\therefore K = \frac{10}{0.5} = 20 \text{ m}^{-1}$

第二步：在水中的度數 $P_{water} = \frac{n_l - n_w}{n_w} \cdot K = \frac{1.5 - 1.33}{1.33} \times 20 = \frac{0.17}{1.33} \times 20$ $P_{water} = 0.12782 \times 20 = 2.556 \text{ D}$

第三步：在水中的焦距 $f_{water} = \frac{1}{P_{water}} = \frac{1}{2.556} = 0.3912 \text{ m} \approx 39.1 \text{ cm}$

比值驗證： $\frac{f_{water}}{f_{air}} = \frac{P_{air}}{P_{water}} = \frac{0.5K}{\frac{0.17}{1.33}K} = \frac{0.5 \times 1.33}{0.17} = \frac{0.665}{0.17} \approx 3.91$ $f_{water} = 10 \times 3.91 = 39.1 \text{ cm} \checkmark$

核心知識點

• 廣義磨鏡師公式：$P = \frac{n_l - n_0}{n_0} \cdot K$，介質折射率 $n_0$ 越接近鏡片折射率 $n_l$，度數越弱（焦距越長）
• 直覺理解：玻璃鏡片在水中的折射率差異（$1.5 - 1.33 = 0.17$）遠小於在空氣中（$1.5 - 1.0 = 0.5$），因此屈折力大幅減弱，焦距顯著增長
• 焦距比公式：$\frac{f_{water}}{f_{air}} = \frac{(n_l - 1) \cdot n_w}{n_l - n_w}$，可快速計算焦距變化倍率
• 臨床應用：此原理解釋了為何在水中睜眼視物模糊——角膜（$n \approx 1.376$）在水中幾乎失去屈折力（空氣-角膜介面消失），整個眼球系統的度數大幅降低
• 特例：若 $n_l = n_0$，則 $P = 0$，鏡片在該介質中失去任何屈折力

參考資料

1. Lensmaker's Equation - StatPearls, NCBI Bookshelf
2. An Air Lens Under Water - Collection of Solved Problems
3. The Lens Maker's Equation for Thin Lenses - BYJU'S