有一道未偏極化（unpolarized ）的光線從空氣中穿透皇冠玻璃鏡片（n=1.523），則光線入射的角度需要多少才可以讓反射光線產生偏極化（polarized）現象？

本題觀念：

布魯斯特角(Brewster's angle)是指未偏極化(unpolarized)光線入射到兩種介質界面時，反射光產生完全線性偏極化(linear polarization)的特定入射角。此角度由布魯斯特定律(Brewster's Law)決定：$\theta_B = \arctan(n_2/n_1)$。本題中光線從空氣射入皇冠玻璃鏡片。

選項分析

已知條件：

• 介質1（入射端）：空氣，$n_1 = 1.000$
• 介質2（折射端）：皇冠玻璃(crown glass)，$n_2 = 1.523$

布魯斯特定律公式： $\theta_B = \arctan\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \arctan\left(\frac{1.523}{1.000}\right) = \arctan(1.523)$

計算： $\theta_B = \arctan(1.523) \approx 56.7°$

(A) 23.7° ❌ — 此約為 arctan(0.438)，無對應物理意義。

(B) 32.8° ❌ — 此約為 arctan(0.644)，非正確值。

(C) 48.6° ❌ — 此約為 arctan(1.135)；接近折射角（約 33.3°，為 90° - 56.7°），方向混淆。

(D) 56.7° ✅ — 正確，符合 $\arctan(1.523) \approx 56.7°$。

答案解析

正確答案為 (D) 56.7°。

布魯斯特定律推導：

當 p 偏極化(p-polarized, TM mode)的光線在界面處反射率降為零時，該入射角稱為布魯斯特角。此時入射光線與折射光線互相垂直（角度差 90°），即： $\theta_B + \theta_r = 90°$

由司乃爾定律(Snell's Law)： $n_1 \sin\theta_B = n_2 \sin\theta_r = n_2 \sin(90° - \theta_B) = n_2 \cos\theta_B$

整理得： $\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}$ $\theta_B = \arctan\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

代入計算： $\theta_B = \arctan\left(\frac{1.523}{1.000}\right) = \arctan(1.523) \approx 56.67° \approx 56.7°$

物理意義：在布魯斯特角入射時，反射光只含有 s 偏極化(s-polarized, TE mode)分量，因此反射光為完全偏極化。未偏極化的自然光中，p 偏極分量全部穿透，s 偏極分量部分反射，使反射光成為線性偏極光。

臨床重要性

**偏光鏡片(polarized lenses)**的原理即基於此：

• 水面、路面反射光多為 s 偏極化的水平偏極光
• 偏光鏡片的偏極化軸設計為垂直方向，只讓垂直偏極光通過
• 大幅減少眩光(glare)，提升視覺對比度

驗光生臨床應用：了解布魯斯特角有助於解釋反射膜(anti-reflective coating)的設計原理，以及偏光鏡片消除眩光的物理機制。

核心知識點

布魯斯特角公式： $\theta_B = \arctan\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

常見眼鏡材料的布魯斯特角（空氣入射）：

材料	折射率 n	布魯斯特角
水	1.333	53.1°
皇冠玻璃	1.523	56.7°
高折射率玻璃	1.60	58.0°
聚碳酸酯	1.586	57.8°

記憶重點：

1. 布魯斯特角 = $\arctan(n)$（從空氣入射時，$n_1=1$）
2. 反射光完全偏極化（p 分量消失）
3. 入射角 + 折射角 = 90°（此為布魯斯特條件的幾何特徵）

參考資料

1. Brewster's Angle – Wikipedia
2. Brewster's Angle – RP Photonics
3. Brewster's Law – Britannica
4. Brewster's Angle Tutorial – Evident Scientific