已知 ta為平均壽命（ mean life ）， Ao為初始活度， No為初始原子核數量。試問 ta×Ao為何？

本題觀念：

本題考核放射性衰變的「平均壽命（mean life, $t_a$）」與「初始活度（$A_0$）」、「初始原子核數量（$N_0$）」三者之間的數學關係。這是理解放射性衰變動力學的核心公式，也是計算累積衰變總量的基礎。

選項分析

首先建立數學關係：

放射性衰變基本定義：

• 衰變常數：$\lambda$
• 平均壽命：$t_a = \dfrac{1}{\lambda}$
• 初始活度：$A_0 = \lambda N_0$

計算 $t_a \times A_0$： $t_a \times A_0 = \frac{1}{\lambda} \times \lambda N_0 = N_0$

因此 $t_a \times A_0 = N_0$。

物理意義：活度（每秒衰變次數）乘以平均壽命（秒），等於從 $t=0$ 到 $t=\infty$ 的累積衰變總次數，即等於初始時的全部原子核數量 $N_0$。這也說明了平均壽命 $t_a$ 是整個樣品「完全衰變」所需平均時間的概念。

(A) $0.37N_0$：$0.37 \approx e^{-1}$，這是經過一個平均壽命後剩餘的原子核比例（$N = N_0 e^{-\lambda t_a} = N_0 e^{-1} \approx 0.37 N_0$），與本題問的 $t_a

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