有一球形粉體密度 1.3 g/mL ，平均粒徑 2.5 µm，依據 Stokes'方程式測得該粉體在密度 1.0 g/mL 、黏稠度 1 cp 之水中沉降速率為1.02×10⁻⁴ cm/sec ，若該粉體平均粒徑減小至 0.5 µm，則在水中沉降速率為原來的多少倍？

本題觀念：

本題為 Stokes 方程式的數值計算應用題。已知球形粉體在水中的沉降速率與粒徑的平方成正比，求粒徑改變後沉降速率的比值。

選項分析

依據 Stokes 方程式：

$v = \frac{2r^2(\rho_p - \rho_m)g}{9\eta}$

在其他條件（粉體密度 $\rho_p = 1.3$ g/mL、介質密度 $\rho_m = 1.0$ g/mL、重力加速度、黏度 $\eta = 1$ cp）不變的前提下：

$v \propto r^2 \propto d^2$

其中 $d$ 為粒子直徑（diameter）。

計算沉降速率比值：

$\frac{v_{\text{新}}}{v_{\text{原}}} = \left(\frac{d_{\text{新}}}{d_{\text{原}}}\right)^2 = \left(\frac{0.5\,\mu\text{m}}{2.5\,\mu\text{m}}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} = 0.04$

驗算：

• 原沉降速率 $v_1 = 1.02 \times 10^{-4}$ cm/sec
• 新沉降速率 $v_2 = 1.02 \times 10^{-4} \times 0.04 = 4.08

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