今有⼀放射性核種之平均壽命 為Ta⼩時，若此核種之原始活度為 A，經過 2T a⼩時後，其活度約為多少？

本題觀念：

放射性核種的**平均壽命（mean lifetime, $\tau$）**與活度的關係——理解 $\tau$ 與半衰期 $t_{1/2}$ 的關係，並利用指數衰變公式計算經過 $2\tau$ 後的活度。

選項分析

核心公式推導：

放射性活度隨時間的衰減公式（以平均壽命 $\tau$ 表示）：

$A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot e^{-t/\tau}$

其中 $\tau = 1/\lambda$（衰變常數的倒數），與半衰期的關係為：

$\tau = \frac{t_{1/2}}{\ln 2} = \frac{t_{1/2}}{0.693} \approx 1.443 \cdot t_{1/2}$

代入 $t = 2T_a$（即 $t = 2\tau$）：

$A(2\tau) = A_0 \cdot e^{-2\tau/\tau} = A_0 \cdot e^{-2}$

$e^{-2} = \frac{1}{e^2} = \frac{1}{7.389} \approx 0.1353$

$A(2\tau) \approx 0.135 \times A$

(A) $0.067 \times A$ — 對應 $e^{-2.7}$，不符合 $e^

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