某核種半化期為 24 h ，若剛製造出來時，對人員所產生的即時劑量為 1 mSv/h 。則第一天內（ 24 h ）所產生的總劑量為多少 mSv ？

本題觀念：

本題考查放射性核種的**指數衰變（exponential decay）與累積劑量（cumulative dose）**的積分計算。已知半化期（半衰期）$T_{1/2} = 24$ h，初始劑量率 $\dot{D}_0 = 1$ mSv/h，求第一天（24 h）內的總劑量。

答案解析

建立劑量率函數：

放射性核種的劑量率隨時間依指數衰變： $\dot{D}(t) = \dot{D}_0 \cdot e^{-\lambda t}$

其中衰變常數 $\lambda$ 與半衰期的關係為： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.6931}{24 \text{ h}} \approx 0.02888 \text{ h}^{-1}$

對時間積分求總劑量：

$D_{\text{total}} = \int_0^{T} \dot{D}_0 \cdot e^{-\lambda t} \, dt = \dot{D}_0 \cdot \left[ \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda t} \right]_0^{T}$

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