某射源的半衰期為5天，該射源的平均壽命約為多少天？
詳細解析
本題觀念
放射性核種的半衰期與平均壽命都是描述衰變快慢的時間，但兩者不是同一個量。半衰期是放射性原子數或活度降到原來一半所需的時間；平均壽命則是單一原子在指數衰變模型下，從產生到衰變的期望時間。
設衰變常數為 λ，放射性衰變可寫成 N(t)＝N₀e⁻λᵗ。半衰期 T₁/₂ 滿足 e⁻λᵀ¹⁄₂＝1/2，因此 T₁/₂＝ln(2)／λ；平均壽命 τ＝1／λ。兩式合併後得到 τ＝T₁/₂／ln(2)≈1.443T₁/₂。代入半衰期 5 天，τ＝5／0.693147≈7.21 天，依選項取約 7 天。
這個比例也能協助快速檢查答案：因為 1／ln(2) 約為 1.443，平均壽命應比半衰期長，但不會直接等於兩倍半衰期。故 7 天符合數值範圍，5 天少了比例換算，10 天則已經代表兩個半衰期。
選項分析
A. 5 天：錯誤。5 天是題目給定的半衰期，代表經過這段時間後活度剩下 50%，不是平均壽命。把兩個名詞視為相同，會忽略平均壽命與衰變常數的關係。
B. 10 天：錯誤。10 天是兩個半衰期。經過 10 天後，活度比例為 1/4；這個時間是由半衰期直接相乘得到，並非指數衰變的平均壽命。
C. 7 天：正確。由 τ＝T₁/₂／ln(2)，可得 τ＝5／0.693147＝7.213 天，四捨五入後約為 7 天。這個數值也可寫成半衰期的 1.443 倍，符合 5 天半衰期的計算結果。
D. 14 天：錯誤。14 天約為 2.8 個半衰期，並非平均壽命；平均壽命與半衰期的固定比例是 1／ln(2)，約 1.443，因此本題應選約 7 天。
答案解析
答案為 C。先分清定義：半衰期描述活度下降一半的時間，平均壽命是衰變常數的倒數。因為 T₁/₂＝ln(2)／λ、τ＝1／λ，所以平均壽命必須用半衰期除以 ln(2)，而不是直接沿用半衰期，也不是把半衰期乘上整數。計算 5／ln(2)＝約 7.21 天，依題目選項取約 7 天。這也說明平均壽命是統計上的期望值，不是每個原子都會在同一時間衰變。
核心知識點
- 半衰期：T₁/₂＝ln(2)／λ，表示活度或原子數降至一半所需時間。
- 平均壽命：τ＝1／λ，是指數衰變的期望壽命。
- 兩者關係：τ＝T₁/₂／ln(2)≈1.443T₁/₂。
- 半衰期是 5 天時，平均壽命約 7.21 天；計算題應依有效位數與選項精度取約 7 天。
- 不要把「經過一個半衰期剩一半」誤當成「原子平均存在一個半衰期」；前者是比例變化，後者是期望時間。