放射 - 放射計數統計考古題解析 - 民國115年

本題觀念：

本題考查的是輻射測量中**計數統計（Counting Statistics）與誤差傳遞（Error Propagation）**的核心概念。在游離輻射的測量中，放射性衰變符合卜瓦松分布（Poisson distribution）。當我們量測到總計數為 $N$ 時，其標準差（ $\sigma_N$ ）為 $\sqrt{N}$ 。然而在實務上，我們通常會使用「計數率（Count rate, $R$ ）」來表示放射性活度，計數率 $R = N/t$ ，因此其標準差為 $\sigma_R = \frac{\sqrt{N}}{t} = \sqrt{\frac{R}{t}}$ 。

當我們要計算樣品的「淨計數率（Net count rate, $R_n$ ）」時，必須扣除環境的背景輻射。

淨計數率公式： $R_n = R_s - R_b$ （ $R_s$ 為樣品總計數率， $R_b$ 為背景計數率）
根據誤差傳遞定律（加減法運算中，變異數相加），淨計數率的標準差 $\sigma_{R_n}$ 為： $\sigma_{R_n} = \sqrt{\sigma_{R_s}^2 + \sigma_{R_b}^2} = \sqrt{\frac{R_s}{t_s} + \frac{R_b}{t_b}}$

最後，題目所求的「誤差百分比（相對誤差）」，即為淨計數率的標準差除以淨計數率，再乘上 100%。

選項分析與計算過程

第一步：計算樣品與背景之計數率

樣品總計數率 ( $R_s$ )： $N_s / t_s = 756 / 10 = 75.6 \text{ cpm}$ (counts per minute)
背景計數率 ( $R_b$ )： $N_b / t_b = 600 / 100 = 6.0 \text{ cpm}$
淨計數率 ( $R_n$ )： $R_s - R_b = 75.6 - 6.0 = 69.6 \text{ cpm}$

第二步：計算淨計數率的標準差（ $\sigma_{R_n}$ ）

$\sigma_{R_n} = \sqrt{\frac{R_s}{t_s} + \frac{R_b}{t_b}} = \sqrt{\frac{75.6}{10} + \frac{6.0}{100}}$
$\sigma_{R_n} = \sqrt{7.56 + 0.06} = \sqrt{7.62} \approx 2.7604 \text{ cpm}$

第三步：計算淨計數率的百分誤差（Percentage Error）

誤差百分比 $= \left(\frac{\sigma_{R_n}}{R_n}\right) \times 100\%$
誤差百分比 $= \left(\frac{2.7604}{69.6}\right) \times 100\% \approx 0.03966 \times 100\% = 3.966\%$
四捨五入至小數點後兩位，結果為 $3.97\%$ 。
(A) 3.63：計算錯誤。若誤用錯誤的變異數或未加上背景的誤差傳遞，可能得到錯誤結果，故錯誤。
(B) 3.97：計算結果與上述推導完全符合，為正確答案。
(C) 7.93：此數值約為 $3.966\% \times 2 = 7.93\%$ 。這是在 $95\%$ 信賴區間（ $2\sigma$ ）下的相對誤差。然而，放射物理題目中若未特別標明求 $95\%$ 信賴區間或 $2\sigma$ ，其「誤差」預設皆指單一標準差（ $1\sigma$ ），故錯誤。
(D) 8.62：計算錯誤，無合理的對應公式，故錯誤。

答案解析

根據卜瓦松分布特性與誤差傳遞原理推導，求出淨計數率為 $69.6 \text{ cpm}$ ，其一倍標準差為 $\sqrt{7.62} \approx 2.7604 \text{ cpm}$ 。將兩者相除並轉換為百分比，得到相對誤差約為 $3.97\%$ ，因此選項 (B) 為最佳正解。

核心知識點

醫事放射師考生在準備「醫學物理學與輻射安全」或「儀器學」考科時，務必熟記以下計數統計學的核心考點：

卜瓦松分布特性（Poisson Distribution）：總計數 $N$ 的標準差 $\sigma = \sqrt{N}$ 。
計數率及其標準差公式： $R = N/t$ ， $\sigma_R = \sqrt{R/t}$ 。
誤差傳遞（Error Propagation）：
- 淨計數率標準差： $\sigma_{R_n} = \sqrt{\sigma_{R_s}^2 + \sigma_{R_b}^2} = \sqrt{\frac{R_s}{t_s} + \frac{R_b}{t_b}}$
相對誤差與信賴區間：了解相對誤差（Relative Error）的定義為 $\sigma / 測量值$ 。同時需理解 $1\sigma$ (68.3%)、 $2\sigma$ (95.4%)、 $3\sigma$ (99.7%) 在信賴度上的差異。

臨床重要性

在核子醫學科的體外放射性分析（如 RIA 放射免疫分析）、活度計（Dose calibrator）校正或是擦拭測試（Wipe test）中，經常需要量測微弱的放射性樣品。精確評估淨計數率的統計誤差，能幫助放射師判斷「測量時間是否足夠長」以達到臨床要求的精準度（通常相對誤差需小於 5%）。若誤差過大，則應延長樣品計數時間（ $t_s$ ）或背景計數時間（ $t_b$ ）來優化實驗數據的可靠性。

參考資料

輻射防護簡訊93 - 輻防協會 (https://www.mut.org.tw/news_detail/84.htm)
Radiation Physics and Counting Statistics (核醫學與輻射物理基礎教材)

一樣品計數 10分鐘，其計數值為 756；背景計數 100分鐘，其背景計數值為 600。其淨計數率的誤差為多少％？

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