放射 - 放射計數統計考古題解析 - 民國115年

本題觀念：

本題考查的是放射線計數統計學（Radiation Counting Statistics）中的常態分布（高斯分布，Gaussian distribution）概念。在輻射度量中，由於放射性衰變具有隨機性，計數值的分布理論上遵循泊松分布（Poisson distribution）。然而，當預期計數值足夠大（通常 $> 20$ 或 $30$ ）時，泊松分布的圖形與性質會極度趨近於常態分布。常態分布為一左右對稱的鐘形曲線，我們可以利用「平均值」與「標準差」的標準化分數（Z 分數），快速求出特定數值範圍發生的機率。

選項分析

在常態分布中，我們可透過計算標準化分數（Z-score）來求得特定數值出現的機率。 Z 分數的公式為： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 其中：

$X$ 為觀察值（本題為 1098）
$\mu$ 為平均值（本題為 1000）
$\sigma$ 為標準差（本題為 50）

代入題目給定的數值： $Z = \frac{1098 - 1000}{50} = \frac{98}{50} = 1.96$

這表示 1098 這個計數值，剛好落在距離平均值右側 1.96 個標準差（ $+1.96\sigma$ ）的位置。根據常態分布的統計特性：

曲線下涵蓋 $\mu \pm 1.96\sigma$ 的面積為 95%（即構成 95% 信賴區間的臨界值）。
這意味著計數值落在 $1000 \pm (1.96 \times 50)$ ，即介於 902 到 1098 之間的機率為 95%。
落在這個範圍之外（極端值）的總機率為 $100\% - 95\% = 5\%$ 。
因為常態分布是完美的左右對稱圖形，所以分布在兩端的機率相等。也就是說，「大於 1098（ $Z > 1.96$ ）」和「小於 902（ $Z < -1.96$ ）」的機率各佔一半，即 $\frac{5\%}{2} = 2.5\%$ 。

(A) 2.5：正確。由上述推導，計數大於 1098 的單尾機率恰好為 2.5%。
(B) 5：錯誤。5% 是落在 $\pm 1.96\sigma$ 範圍之外（即大於 1098「或」小於 902）的雙尾總機率。本題只詢問大於 1098，因此需將 5% 除以 2。
(C) 10：錯誤。這不符合 Z = 1.96 時的機率面積分布。
(D) 25：錯誤。與統計學常態分布的機率面積完全不符。

答案解析

正確答案為 (A) 2.5。本題為標準的輻射統計學題型，測驗考生是否熟知高斯分布的 95% 雙尾機率所對應的 Z 分數為 1.96。算出標準化分數為 $1.96$ 後，可得知落在正負 $1.96\sigma$ 外的機率為 5%。因為題目問的是「大於 1098」的單邊機率，故將 5% 除以 2，即可得到 2.5%。

核心知識點

醫事放射師在進行儀器品保測試、背景輻射測量時，常需應用統計原理判斷測量數值是否在合理範圍內。針對這類考試，考生必須熟記常態分布（高斯分布）的幾個關鍵 Z 分數與其對應的機率值，以便在考場上不需查表就能快速解題：

$1\sigma (Z=1.00)$ ：範圍內面積約 68.3%，單尾（大於/小於）機率約 15.85%。
$1.645\sigma (Z=1.645)$ ：範圍內面積約 90.0%，單尾機率為 5.0%。
$1.96\sigma (Z=1.96)$ ：範圍內面積約 95.0%，單尾機率為 2.5%。（本題考點）
$2\sigma (Z=2.00)$ ：範圍內面積約 95.4%，單尾機率約 2.3%。
$2.58\sigma (Z=2.58)$ ：範圍內面積約 99.0%，單尾機率為 0.5%。
$3\sigma (Z=3.00)$ ：範圍內面積約 99.7%，單尾機率約 0.15%。

臨床重要性

在放射診斷與核子醫學科中，每日儀器的品保（Quality Control, QC）常常基於計數統計。如果計數結果落在均值的 $\pm 2\sigma$ 或 $\pm 1.96\sigma$ 之外，通常會視為「警告」（Warning）；若落在 $\pm 3\sigma$ 之外，則視為「失效」（Out of control），提示輻射度量儀器或造影設備可能出現故障或環境背景異常，需立即介入檢查。

做了50次環境輻射度量，結果計數值為一高斯分布，若平均計數值為1000，標準差為 50。若再進行一次計數，其結果大於 1098之機率為多少％？

詳細解析

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核心知識點

臨床重要性

參考資料