以¹⁴C年代測定法得到樣本計數為125 ± 7，而背景計數為30 ± 24，則淨計數的標準差為何？

本題觀念：

本題主要測驗放射線物理與統計學中的「誤差傳播定律（Law of Error Propagation）」以及「淨計數（Net Count）」的標準差計算。在輻射度量中，我們經常需要從總計數（樣本計數）中扣除背景計數，以得到真正的淨計數。

當兩個獨立變數進行相加或相減時，其總和或差值的「變異數（Variance）」等於兩者變異數的總和。因此，淨計數的標準差並非兩個標準差的直接加減，而是兩個變異數相加後再開根號。 公式表示為： $\sigma_{net} = \sqrt{\sigma_{sample}^2 + \sigma_{background}^2}$

選項分析

• (A) 5.05：錯誤。此數值無物理與統計學意義，非正確計算結果。
• (B) 17：錯誤。這是將背景標準差直接減去樣本標準差（$24 - 7 = 17$）所得出的計算結果。在統計學中，即使是計算數值的「差」，其變異數（誤差）也必須「相加」而非相減，絕對不能直接對標準差進行單純的加減運算。
• (C) 23：錯誤。這是將背景的變異數減去樣本的變異數後再開根號（$\sqrt{24^2 - 7^2} = \sqrt{576 - 49} = \sqrt{527} \approx 22.95$）。誤差傳播定律規定獨立變數相減時，變異數必為相加，不會因為數值相減而使變異數變小。
• (D) 25：正確。根據誤差傳播定律，將樣本標準差與背景標準差各自平方（求變異數）後相加，再開根號即可求得正確的淨計數標準差。

答案解析

1. 已知數據：
   • 樣本總計數（Gross count） $N_s = 125$，其標準差 $\sigma_s = 7$。
   • 背景計數（Background count） $N_b = 30$，其標準差 $\sigma_b = 24$。
2. 計算淨計數：
   • 淨計數 $N_{net} = N_s - N_b = 125 - 30 = 95$。
3. 計算淨計數標準差：
   • 由於樣本計數與背景計數為兩個獨立的隨機變數，根據誤差傳播定律，淨計數的變異數為兩者變異數之和：$\sigma_{net}^2 = \sigma_s^2 + \sigma_b^2$。
   • 代入數值：$\sigma_{net} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$。
   • 最終淨計數的結果可表示為 $95 \pm 25$。
   • 故正確答案為 D。

(註：在一般輻射計數的單次度量中，依據卜瓦松分佈（Poisson distribution），標準差常直接以 $\sqrt{N}$ 估算。但在本題中，題目已明確給定兩者的標準差數值（7 與 24），因此不需要自行開根號，應直接使用題目給定的 $\sigma$ 值代入誤差傳播公式。)

核心知識點

醫事放射師在面對輻射度量、儀器品保與核醫學檢驗時，必須熟練掌握以下統計學原則：

1. 卜瓦松分佈與計數統計：輻射衰變屬於隨機事件，計數值 $N$ 的標準差預設為 $\sqrt{N}$（僅在題目未給定明確標準差時適用）。
2. 誤差傳播定律（Error Propagation）：
   • 加減法運算：若 $Z = X \pm Y$，則變異數 $\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$，標準差為 $\sigma_Z = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$。這代表不論測量值是相加還是相扣除，測量上的誤差（變異數）永遠只會累加，不會相互抵銷。
3. 淨計數與淨計數率：
   • 淨計數 = 總計數 - 背景計數。
   • 這是計算臨床檢體真實放射性活度（Activity）的標準必備步驟。

參考資料

1. 放射化學實驗報告-第六組 | Scribd