A為8 ± 2，B為9 ± 3，則A、B相乘之積為多少？

本題觀念：

本題測驗的核心觀念為「誤差傳播」（Error Propagation），具體而言是探討兩個具有獨立不確定性（標準差）的變數在進行乘法運算時，其誤差該如何推導與計算。在輻射度量學與醫學放射物理中，測量數據常伴隨統計起伏或測量誤差，計算衍生實體（如活度、劑量、計數率）時必須正確應用誤差傳播定律來求出最終結果的信賴區間。

選項分析

• (A) 72 ± 30.0：正確。根據乘法的誤差傳播公式，變數相乘後的相對誤差平方等於各別變數相對誤差平方之和，經推導計算後絕對誤差為 30，符合此選項。
• (B) 72 ± 6.0：錯誤。6.0 是將兩個變數的誤差直接相乘（$2 \times 3 = 6$）所得的結果，這完全不符合誤差傳播的物理與數學定義。
• (C) 72 ± 3.6：錯誤。3.6 是將兩個誤差的平方和開根號（$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.6$），但這是「加減法」運算的誤差傳播公式，不能誤用於乘法運算。
• (D) 72 ± 13.0：錯誤。這並非任何標準誤差傳播公式的結果，為具有誘惑性的錯誤干擾項。

答案解析

1. 計算數值乘積： 設 $A = 8 \pm 2$，其中期望值 $\bar{A} = 8$，誤差 $\sigma_A = 2$。 設 $B = 9 \pm 3$，其中期望值 $\bar{B} = 9$，誤差 $\sigma_B = 3$。 相乘後的期望值為：$C = \bar{A} \times \bar{B} = 8 \times 9 = 72$。

2. 計算傳播誤差： 對於兩個互相獨立之變數相乘（$C = A \times B$），其相對誤差（Relative error）的計算公式為各變數相對誤差的平方和開根號： $\left(\frac{\sigma_C}{C}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_A}{\bar{A}}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_B}{\bar{B}}\right)^2$

   將公式展開求絕對誤差 $\sigma_C$： $\sigma_C = C \times \sqrt{\left(\frac{\sigma_A}{\bar{A}}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_B}{\bar{B}}\right)^2}$ $\sigma_C = \sqrt{(\bar{B} \times \sigma_A)^2 + (\bar{A} \times \sigma_B)^2}$

3. 代入數值： $\sigma_C = \sqrt{(9 \times 2)^2 + (8 \times 3)^2}$ $\sigma_C = \sqrt{18^2 + 24^2}$ $\sigma_C = \sqrt{324 + 576}$ $\sigma_C = \sqrt{900} = 30$

   因此，A與B相乘之積為 $72 \pm 30.0$，選項 (A) 為最佳解答。

核心知識點

考生必須熟記輻射度量學中「誤差傳播定律（Error Propagation Law）」的基本公式，以應對計數統計與劑量推算：

• 加法與減法 ($C = A \pm B$)： $\sigma_C = \sqrt{\sigma_A^2 + \sigma_B^2}$
• 乘法與除法 ($C = A \times B$ 或 $C = A / B$)： $\frac{\sigma_C}{C} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_B}{B}\right)^2}$
• 常數乘法 ($C = k \times A$)： $\sigma_C = k \times \sigma_A$
• 指數運算 ($C = A^n$)： $\frac{\sigma_C}{C} = |n| \times \frac{\sigma_A}{A}$

參考資料

1. Error Propagation: Understanding How Uncertainty Spreads Through Calculations