若迴旋加速器的放廢樣本計數率為 4000 cpm ，而這井型計數系統背景值為 100 cpm ，若要在 1 小時內完成，為使計測誤差最小，此放廢樣本的計測時間應為多少分鐘？

本題觀念：

本題考查醫學物理學與輻射安全中的「最佳計測時間分配（Optimal Time Allocation）」原理。在輻射度量中，由於放射性衰變具有隨機性且符合卜瓦松分布（Poisson distribution），計數值必定帶有統計誤差。當我們測量樣本時，實際測得的數值為「樣本＋背景」的總計數率，為求得樣本真實的淨計數率（Net Count Rate），需扣除背景計數率。

在總測量時間固定的前提下，為了使淨計數率的統計誤差（標準差）降至最低，應合理分配樣本與背景的測量時間。根據誤差傳遞與微積分求極值原理，最佳時間分配公式為： $\frac{t_s}{t_b} = \sqrt{\frac{R_s}{R_b}}$ 其中：

• $t_s$：樣本的計測時間
• $t_b$：背景的計測時間
• $R_s$：樣本（含背景）的總計數率（Gross count rate）
• $R_b$：背景計數率（Background count rate）

選項分析

提取題目給定的參數並代入公式：

• 樣本總計數率 $R_s$ = 4000 cpm
• 背景計數率 $R_b$ = 100 cpm
• 總時間 $T$ = $t_s + t_b$ = 1 小時 = 60 分鐘

帶入最佳時間分配公式計算兩者時間比：

$$$$

...（解析預覽）...