若計數某樣品與背景可使用的時間共 45 分鐘，初步計數得到背景值約為 25 cpm ，樣品（含背景）約為 100cpm ，為使統計誤差最小，樣品計測應計數多少分鐘？

本題觀念：

本題考核放射線計數統計學中**最佳計數時間分配（optimal counting time allocation）**的原理。當樣品計數與背景計數的可用時間有限時，透過數學推導可以找到使淨計數率之統計誤差最小化的最佳時間分配比例。

選項分析

(A) 30 分鐘 — 正確答案。依最佳分配公式計算，樣品應計數 30 分鐘。

(B) 20 分鐘 — 錯誤。未按最佳比例分配時間。

(C) 15 分鐘 — 錯誤。此為背景的最佳計數時間，非樣品。

(D) 10 分鐘 — 錯誤。分配時間過短，誤差更大。

答案解析

淨計數率（net count rate）為： $R_{net} = R_s - R_b$

淨計數率的標準差為： $\sigma_{net} = \sqrt{\frac{R_s}{t_s} + \frac{R_b}{t_b}}$

在總時間 $T = t_s + t_b$ 固定的條件下，為使 $\sigma_{net}$ 最小，對 $t_s$ 求偏微分並令其為零，可推導出最佳計數時間分配公式：

$\frac{t_s}{t_b} = \sqrt{\frac{R_s}{R_b}}$

代入題目數值：

• 樣品（含背景）計數率 $R_s = 100$ cpm
• 背景計數率 $R_b =

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