鉛（密度11.35 g/cm³）是屏蔽光子常用的材料，查表可知0.5 MeV 光子對鉛的質量衰減係數為0.15 cm²/g。下列推導數值何者錯誤？
詳細解析
本題觀念
本題要把 μ/ρ、材料密度、線性衰減係數，以及半值層與什一值層串起來。題示 μ/ρ 的單位是 cm²/g，乘上鉛的密度 ρ=11.35 g/cm³ 後，單位中的 g 會消掉，得到線性衰減係數 μ，單位為 cm⁻¹。光子在均質材料中的強度遵循指數衰減；半值層（HVL）是讓強度剩下一半的厚度，所以 HVL=ln2/μ；什一值層（TVL）是讓強度剩下十分之一的厚度，所以 TVL=ln10/μ。兩者的比值固定為 ln10/ln2，約 3.32，不是 5。
選項分析
**A．線性衰減係數＝1.70 cm⁻¹：正確。**使用 μ=(μ/ρ)ρ，代入 0.15 cm²/g×11.35 g/cm³，得到 1.7025 cm⁻¹。依題目有效位數，四捨五入為 1.70 cm⁻¹。單位也正確，因為 cm²/g 與 g/cm³ 相乘後為 cm⁻¹。
**B．半值層（HVL）＝0.407 cm：正確。**半值層滿足 I/I₀=1/2。指數衰減式可寫成 I=I₀e⁻ᵘˣ，因此令 e⁻ᵘˣ=1/2，得到 x=ln2/μ。以 μ=1.7025 cm⁻¹ 計算，HVL=0.693147/1.7025≈0.4071 cm，取三位小數即 0.407 cm。
**C．什一值層（TVL）＝1.35 cm：正確。**什一值層滿足 I/I₀=1/10，同理可得 TVL=ln10/μ。代入 2.302585/1.7025，結果約為 1.3524 cm，四捨五入為 1.35 cm。它約是 3.32 個半值層，與 A、B 的數值彼此相符。
**D．1 TVL＝5×HVL：錯誤。**在同一材料、同一光子能量及同一指數衰減模型下，TVL/HVL=(ln10/μ)/(ln2/μ)=ln10/ln2≈3.3219。因此 1 TVL 約等於 3.3 個 HVL。若用 1.35/0.407 直接相除，也約為 3.32，不會得到 5；故錯誤的是 D。
答案解析
本題答案為 D。建議先做單位與係數，再做層值，不要直接背誦容易混淆的倍數。μ/ρ 描述每單位重量厚度的衰減能力，乘密度才轉成每單位幾何厚度的線性衰減係數。得到 μ=1.7025 cm⁻¹ 後，HVL 和 TVL 分別使用 ln2 與 ln10。因為兩個公式都含相同的 μ，取比值時 μ 會消掉，TVL/HVL 只由「降到一半」與「降到十分之一」這兩個定義決定，約為 3.32。
也可用連續半值層理解：經過 1 個 HVL 剩 1/2，2 個剩 1/4，3 個剩 1/8，約 3.32 個 HVL 才會降到 1/10。因此把 1 TVL 寫成 5×HVL，會讓衰減量過大，並非本題模型下的正確關係。
核心知識點
- 線性衰減係數：μ=(μ/ρ)ρ，單位為 cm⁻¹。
- 指數衰減式：I=I₀e⁻ᵘˣ；厚度 x 越大，穿透光子強度越低。
- HVL=ln2/μ，代表強度降至原來的 1/2。
- TVL=ln10/μ，代表強度降至原來的 1/10。
- TVL/HVL=ln10/ln2≈3.32，故 1 TVL 不是 5 個 HVL。
- 本題計算：μ=0.15×11.35=1.7025 cm⁻¹、HVL≈0.407 cm、TVL≈1.35 cm。
- 做衰減題時要檢查密度、μ/ρ 的單位，以及取半值或什一值所對應的對數常數。